对偶空间

如果${\displaystyle V}$是有限維的，${\displaystyle V^{*}}$的維度和V的維度便相等； 如果${\displaystyle \left\{e_{1},...,e_{n}\right\}}$是${\displaystyle V}$的基，${\displaystyle V^{*}}$便應該有相對基${\displaystyle \left\{e^{1},...,e^{n}\right\}}$，記作：

${\displaystyle e^{i}(e_{j})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}i=j\\0,&{\mbox{if }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$

如果${\displaystyle V}$是平面幾何向量的空間，${\displaystyle V^{*}}$便是一組組的平行線。我們能從平行線應用到任何向量產生一個標量。

如果${\displaystyle V}$是無限維度，${\displaystyle e^{i}}$不能產生${\displaystyle V^{*}}$的基；而${\displaystyle V^{*}}$的維度比${\displaystyle V}$的大。

例如空間${\displaystyle R^{(\omega )}}$的元素是實數列，其擁有很多非零數字。${\displaystyle R^{\omega }}$的雙對空間是所有實數數列的空間。這些數列${\displaystyle (a_{n})}$被用於元素${\displaystyle (x_{n})}$而產生${\displaystyle \sum _{n}a_{n}x_{n}}$。

設${\displaystyle f:V\rightarrow W}$是線性映射。 ${\displaystyle f}$的轉置${\displaystyle {}^{t}\!f:W^{*}\rightarrow V^{*}}$定義為

${\displaystyle {}^{t}\!f(\varphi )=\varphi \circ f\qquad \forall \varphi \in W^{*}}$

對任何向量空間${\displaystyle V,W}$，定義${\displaystyle L(V,W)}$為所有從${\displaystyle V}$到${\displaystyle W}$的線性映射組成的向量空間。${\displaystyle f|\rightarrow {}^{t}\!f}$產生從${\displaystyle L(V,W)}$至${\displaystyle L(W^{*},V^{*})}$的單射；這是個同構若且唯若${\displaystyle W}$是有限維的。

若 線性映射f表示作其對${\displaystyle V,W}$的基之矩陣${\displaystyle A}$ ,則${\displaystyle {}^{t}\!f}$表示作其對${\displaystyle V^{*},W^{*}}$的對偶基之轉置矩陣。 若${\displaystyle g:W\rightarrow X}$是另一線性映射，則${\displaystyle {}^{t}\!\left(g\circ f\right)={}^{t}\!f\circ {}^{t}\!g}$。

在范畴論的語言裡，為任何向量空間取對偶及為任何線性映射取轉置都是向量空間范畴的逆變函子。

正如所見，如果${\displaystyle V}$擁有有限維度，${\displaystyle V}$跟${\displaystyle V^{*}}$是同構的，但是该同構并不自然；它是依賴于我们开始所用的${\displaystyle V}$的基。事實上，任意同構${\displaystyle \phi =\left(V\rightarrow V^{*}\right)}$在${\displaystyle V}$上定義了一個唯一的非退化的雙線性型：

${\displaystyle \langle v,w\rangle =(\Phi (v))(w)\,}$

相反地從每個在有限維空間中的非退化的雙線性積可以产生由${\displaystyle V}$映射到${\displaystyle V^{*}}$的同構。

存在一個由${\displaystyle V}$到其雙对偶${\displaystyle V^{**}}$的自然映射${\displaystyle \psi }$，定義為

${\displaystyle \left(\psi (v)\right)(\varphi )=\varphi (v)\forall v\in V,\varphi \in V^{*}}$

${\displaystyle \psi }$常是單射；当且仅当${\displaystyle V}$的維數有限時，${\displaystyle \psi }$是個同構。

對任意有限維之線性賦範向量空間或拓撲向量空間，正如歐幾里得空間，其連續與代數對偶不二。

令${\displaystyle 1<p<\infty }$為實數，並考慮所有序列${\displaystyle a=(a_{n})}$構成之巴拿赫空間l ^p，使其範數

${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{p}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$

有限。以${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$定義${\displaystyle q}$，${\displaystyle I^{p}}$其連續對偶遂自然等同於${\displaystyle I^{q}}$：給定一元素${\displaystyle \varphi \in (I^{p})}$，${\displaystyle I^{q}}$中相應元素為序列 ${\displaystyle \left(\varphi (e_{n})\right)}$，其中${\displaystyle e_{n}}$謂第${\displaystyle n}$項為1且餘項皆0之序列。反之，給定一元素${\displaystyle a=(a_{n})\in I^{q}}$，${\displaystyle I^{p}}$上相應之連續線性泛函${\displaystyle \varphi }$定為${\displaystyle \varphi (a)=\sum _{n}a_{n}x_{n}}$（對一切${\displaystyle a=(a_{n})\in I^{p}}$，見Hölder不等式）。

準此，${\displaystyle I^{1}}$之連續對偶亦自然同構於${\displaystyle I^{\infty }}$。再者，巴拿赫空間${\displaystyle c}$（賦以上確界範數之全體收斂序列）及${\displaystyle c_{0}}$（${\displaystyle c}$中收斂至零者）之連續對偶皆自然同構於${\displaystyle I^{1}}$。

若${\displaystyle V}$為希爾伯特空間，則其連續對偶亦然，並反同構於${\displaystyle V}$；此即是里斯表示定理的陳述，同時也啟發了量子力學之數學描述時所用的狄拉克符號。

類似雙重代數對偶，對連續線性算子亦有連續單射${\displaystyle \psi :V\rightarrow V''}$，此映射實為等距同構，即 ${\displaystyle \left\Vert \psi (x)\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert }$對一切${\displaystyle V}$中${\displaystyle x}$皆真。使${\displaystyle \psi }$為雙射之空間稱自反空间。

連續對偶賦${\displaystyle V}$以一新拓撲，稱之為弱拓撲。

若V之對偶可分，則${\displaystyle V}$亦可分。反之則不然：考慮空間${\displaystyle I_{1}}$，則其對偶${\displaystyle I\infty }$不可分。