射影表示

在表示论中，群 ${\displaystyle G}$ 在域 ${\displaystyle F}$ 上的向量空間 ${\displaystyle V}$ 上的射影表示指从${\displaystyle G}$到射影线性群${\displaystyle PGL}$的一個群同態

${\displaystyle G\to \mathrm {PGL} (V):=\mathrm {GL} (V)/F^{*}}$

其中 ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ 表示在域${\displaystyle F}$上向量空間 ${\displaystyle V}$ 的可逆线性变换构成的一般线性群，而 ${\displaystyle F^{*}}$ 視為純量積映射 ${\displaystyle v\mapsto cv}$，其中 ${\displaystyle c\in F^{*}}$。

若 ${\displaystyle V}$ 維度有限，選定基底後可將 ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$ 理解為 ${\displaystyle \mathrm {PGL} (n,F)}$，即 ${\displaystyle n\times n}$ 階可逆矩陣對正規子群 ${\displaystyle F^{*}\cdot \mathrm {id} _{V}}$ 之商群。

對於給定的群表示 ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (V)}$，與商映射 ${\displaystyle p:\mathrm {GL} (V)\to \mathrm {PGL} (V)}$ 合成後可得到一個射影表示。較常探討的是逆向的問題：如何將一個射影表示 ${\displaystyle {\bar {\rho }}:G\to \mathrm {PGL} (V)}$ 提升至一個表示 ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (V)}$，使得 ${\displaystyle p\circ \rho ={\bar {\rho }}}$？

對於提升問題，通常採取如下進路：取同態 ${\displaystyle {\bar {\rho }}:G\to \mathrm {PGL} (V)}$ 與 ${\displaystyle p:\mathrm {GL} (V)\to \mathrm {PGL} (V)}$ 的纖維積，得到一個中心擴張

${\displaystyle 1\to F^{*}\to {\tilde {G}}\to \mathrm {GL} (V)\to 1}$

其中 ${\displaystyle {\tilde {G}}=\{(g,M)\in G\times \mathrm {GL} (V)|p(M)=\rho (g)\}}$。

這類擴張由群上同調 ${\displaystyle H^{2}(\mathrm {GL} (V),F^{*})}$ 分類。若此擴張是平凡的，則 ${\displaystyle {\bar {\rho }}}$ 可提升至 ${\displaystyle G}$ 的表示。即使此表示無法提升，仍可退而求其次，藉群上同調研究擴張的性質，例如：擴張對應的上同調類 ${\displaystyle \alpha \in H^{2}(\mathrm {GL} (V),F^{*})}$ 滿足 ${\displaystyle n\alpha =0}$ 若且唯若 ${\displaystyle {\bar {\rho }}}$ 可提昇為某個中心擴張 ${\displaystyle 1\to \mathbf {\mu } _{n}\to {\hat {G}}\to \mathrm {GL} (V)\to 1}$ 的 ${\displaystyle {\hat {G}}}$ 的表示。