布莱克-舒尔斯模型

布莱克-舒尔斯模型（英語：），简称BS模型，是一种为衍生性金融商品中的選擇權定价的数学模型，由美国经济学家麥倫·休斯與費雪·布萊克首先提出。此模型適用於沒有派發股利的歐式選擇權。罗伯特·C·墨顿其後修改了數學模型，使其於有派發股利時亦可使用，新模型被稱為布萊克-休斯-墨頓模型（英語：）。

此模型的應用是透過買賣價格過高或是過低的選擇權，並同時與持有的資產對沖，來消除可能潛在的風險，並因此而套利。此方法也被稱為「動態 Delta中性」。此公式问世后带来了選擇權市场的繁荣，並且也是在投資銀行與對沖基金中被廣為使用的基礎模型。

雖然在很多情况下被使用者进行一定的改動和修正。很多经验测试表明这个公式足够贴近市场价格，然而也有会出现差异的时候，如著名的「波動率的微笑」。然而它假設價格的變動，會符合常態分配（即俗稱的鐘形曲線），但在金融市場上經常出現符合统计学厚尾現象的事件，這影響此公式的有效性。

1997年，麥倫·休斯和罗伯特·C·墨顿借该模型获得諾貝爾經濟學獎。費雪·布萊克不幸在1995年離世，因此未能獲獎。

重要假设

BS模型假設金融市場存在最少一種風險資產（如股票）及一種無風險資產（現金或債券）。

假設金融資產是：

假設金融市場是：

此外，假設選擇權是欧式選擇權，即只可在特定日期行权。

對於有效期內不派發紅利的歐式選擇權，其價格遵從以下偏微分方程：

{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0

把方程重寫成左右兩邊：

{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=rV-rS{\frac {\partial V}{\partial S}}

左方代表期權的時間值及與即期價格的凸性。右方代表期權長倉的無風險回報及 ${\frac {\partial V}{\partial S}}$ 股相關資產短倉。

利用以下约束条件，可解認購期權（Call Option）的理論值。

{\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{ for all }}t\\C(S,t)&\rightarrow S{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}

認購期權的理論價格是：

\displaystyle C=S\times N(d_{1})-e^{-r\times T}\times L\times N(d_{2})

其中：

d_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle {\frac {\ln \displaystyle {\frac {S}{L}}+\left(r+0.5\times \sigma ^{2}\right)\times {T}}{\sigma \times {\sqrt {T}}}}\end{smallmatrix}}

d_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyle d_{1}-\sigma \times {\sqrt {T}}\end{smallmatrix}}

ln：自然對數；

C：選擇權初始合理价格；

L：選擇權交割价格；

S：交易所金融资产即期價格；

T：選擇權有效期；

r：连续复利计无风险利率Ｈ；

\sigma ^{2}

：年度化方差；

N()：常態分佈变量的累积分布函数。

布莱克-舒尔斯模型假定在期權有效期内标的股票不派发股利。若派发股利需改用布萊克-休斯-墨頓模型，其公式如下： $\displaystyle C=S\times e^{-k\times t}\times N(d_{1})-e^{-r\times T}\times L\times N(d_{2})$

其中：

d_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle {\frac {\ln \displaystyle {\frac {S}{L}}+\left(r-k+0.5\times \sigma ^{2}\right)\times {T}}{\sigma \times {\sqrt {T}}}}\end{smallmatrix}}

d_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyle d_{1}-\sigma \times {\sqrt {T}}\end{smallmatrix}}

k：表示标的股票的年股利收益率（假设股利连续支付，而不是离散分期支付）

C：期權初始合理价格；

L：期權交割价格；

S：交易所金融资产现价；

T：期權有效期；

r：连续复利计无风险利率Ｈ；

\sigma ^{2}

：年度化方差；

N()：常態分布变量的累积分布函数。

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