幂平均

一般地，如果 ${\displaystyle p<q}$，则 ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ 且这两个平均相等当且仅当 ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$。这由事实

${\displaystyle \forall p\in \mathbb {R} \ {\frac {\partial M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial p}}\geq 0,}$

得出，上述不等式可由琴生不等式证明。

特别地，对 ${\displaystyle p\in \{-1,0,1\}}$，幂平均不等式蕴含了毕达哥拉斯平均不等式以及算术几何平均不等式。

假设指数 ${\displaystyle p}$ 与 ${\displaystyle q}$ 的幂平均间有不等式：

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

则

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}}}}$.

我们在两边取倒数（正实数上的严格递减函数，不等号反向）：

${\displaystyle {\sqrt[{-p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}}}={\sqrt[{p}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}}\geq {\sqrt[{q}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}}={\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}}$,

我们得到了关于 ${\displaystyle -p}$ 与 ${\displaystyle -q}$ 的幂平均不等式，同样的推理可以倒推，从而证明了两个不等式等价，这在后面的证明中将用到。

对任何 ${\displaystyle q}$，指数为 ${\displaystyle q}$ 的幂平均与几何平均之间的不等式为：

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}}$

（第一个不等式对正数 ${\displaystyle q}$，第二个对负数）

我们在两边取 ${\displaystyle q}$ 次幂：

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}\cdot q}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}$

两种情形我们都得到关于 ${\displaystyle x_{i}^{q}}$ 的加权算术几何平均不等式，这可以用琴生不等式证明，利用对数函数是凸函数的事实：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\leq \log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)}$

${\displaystyle \log \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)\leq \log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)}$

两边取指数函数（严格递增），我们得到了不等式：

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$

从而对任何正数 ${\displaystyle q}$，下式成立：

${\displaystyle {\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}.}$

因为此不等式对任何 ${\displaystyle q}$ 成立，足够小同样成立，可以将证明（利用洛必达法则），当 ${\displaystyle q}$ 趋于 0 时，左右两边趋于几何平均，${\displaystyle q}$ 趋于 0 时的幂平均是几何平均：

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 0}{\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}}$

我们将证明对任何 ${\displaystyle p<q}$ 如下不等式成立：

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}.}$

如果 ${\displaystyle p}$ 是负数且 ${\displaystyle q}$ 是正数，不等式等价于上面已证过的

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

对正数 ${\displaystyle p}$ 与 ${\displaystyle q}$ 的证明如下：定义函数 ${\displaystyle f:{\mathbb {R} _{+}}\rightarrow {\mathbb {R} _{+}},}$ ${\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}.}$ f 是一个幂函数，所以有二阶导数：${\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2}}$，在 ${\displaystyle f}$ 的定义域内严格正，因为 ${\displaystyle q>p}$，从而我们知道 ${\displaystyle f}$ 是凸的。

利用这一点以及琴生不等式，我们得到：

${\displaystyle f(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p})\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})}$

${\displaystyle {\sqrt[{\frac {p}{q}}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}$

两边取 ${\displaystyle {\frac {1}{q}}}$ 次幂（递增函数，因 ${\displaystyle {\frac {1}{q}}}$ 为正数）我们得到了欲证之不等式：

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}.}$

最后使用先前证过的等价性，我们得到了关于负数 ${\displaystyle p}$ 与 ${\displaystyle q}$ 的不等式，证毕。

幂平均作为一个非线性移动平均。对於小 ${\displaystyle p}$ 值，幂平均比较偏重小信号值，对於大 ${\displaystyle p}$ 值，幂平均则会强调大信号值。给予一个高效率移动算术平均的实施函数，称为 smooth ，工程师可以按照下述 Haskell 代码，设计一个移动幂平均实施函数：

 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p =
    map (** recip p) . smooth . map (**p)

• 对於大 ${\displaystyle p}$ 值，这可作为一个整流信号的包封檢測器（）。
• 对於小 ${\displaystyle p}$ 值，这可作为一个質量譜的基线侦测器（）。