序列紧

在數學上, 若一個拓撲空間裏，每個無窮序列都有收斂子序列，則稱該拓撲空間序列緊（英語：）。雖然對於度量空間，緊等價於序列緊，但是對於一般的拓撲空間來說，緊（英語：）和序列緊是兩個不等價的性質。

例子和性質

實數軸上的標準拓撲不是序列緊的，例如 (s_n = n) 便是一個沒有收斂子序列的序列。

若一個空間是度量空間，則其為序列緊當且僅當其為緊。[1] 然而，一般情況下，存在序列緊而非緊的拓撲空間，比如具有序拓撲的首個不可數序數，也存在緊而非序列緊的拓撲空間，比如由 $2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$ 多個單位閉區間組成的積空間。[2]

有關概念

若拓撲空間 X 的任意無窮子集都有一個極限點在 X 中，則稱 X 為聚點緊的。
若拓撲空間 X 的任意可數開覆蓋都有一個有限子覆蓋，則稱 X 為可數緊的。

對於度量空間，序列緊、聚點緊、可數緊、緊都是互相等價的性質。

對於序列空間，序列緊與可數緊等價。[3]

而單點緊化的意思是，在拓撲空間中加入一點，然後要求所有無收斂子序列的序列都收斂到該額外的點。 [4]

相關條目

波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理

參考來源

Willard, 17G, p. 125.
Steen and Seebach, Example 105, pp. 125—126.
Engelking, General Topology, Theorem 3.10.31
K.P. Hart, Jun-iti Nagata, J.E. Vaughan (editors), Encyclopedia of General Topology, Chapter d3 (by P. Simon)
Brown, Ronald, "Sequentially proper maps and a sequential compactification", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.

參考書目

Munkres, James. 2nd. Prentice Hall. 1999. ISBN 0-13-181629-2.
Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
Willard, Stephen. . Dover Publications. 2004. ISBN 0-486-43479-6.

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