应力强度因子

G准则是一种断裂准则，它将临界应力强度因子（或断裂韧性）与三种模式的应力强度因子相关联。这个失效准则可以表述为：[8]

${\displaystyle K_{\rm {c}}^{2}=K_{\rm {I}}^{2}+K_{\rm {II}}^{2}+{\frac {E'}{2\mu }}\,K_{\rm {III}}^{2}}$

其中，是断裂韧性，${\displaystyle E'=E/(1-\nu ^{2})}$用于平面应变，${\displaystyle E'=E}$用于平面应力。平面应力的临界应力强度因子通常被写成${\displaystyle K_{\rm {c}}}$。

假设长度为${\displaystyle 2a}$的直裂纹，在一个具有均匀应力场${\displaystyle \sigma }$的无限平面中，其应力强度因子：[5][7]

${\displaystyle K_{\mathrm {I} }=\sigma {\sqrt {\pi a}}}$

无限域内受单轴张力作用的硬币形裂纹

在无限域内一个半径为${\displaystyle a}$的小裂缝尖端在单张应力σ下的应力强度因子：[9]

${\displaystyle K_{\rm {I}}={\frac {2}{\pi }}\sigma {\sqrt {\pi a}}\,.}$

有限平面在I型加载下的裂缝

如果裂缝位于宽度为${\displaystyle 2b}$、高度为${\displaystyle 2h}$的有限平面的中心位置，则应力强度因子的近似关系为：[7]

${\displaystyle K_{\rm {I}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left[{\cfrac {1-{\frac {a}{2b}}+0.326\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}}{\sqrt {1-{\frac {a}{b}}}}}\right]\,.}$

如果裂纹不位于宽度的中心位置，即${\displaystyle d\neq b}$，则位置A处的应力强度因子可以通过级数展开来近似得到：[7][10]

${\displaystyle K_{\rm {IA}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left[1+\sum _{n=2}^{M}C_{n}\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}\right]}$

从应力强度曲线的拟合中可以基于不同${\displaystyle d}$值，得到因子${\displaystyle C_{n}}$。[7]裂纹B点可以得到一个类似（但不完全相同）的表达式。在A点和B点的应力强度因子的替代表达式是：[11]

${\displaystyle K_{\rm {IA}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\,\Phi _{A}\,\,,K_{\rm {IB}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\,\Phi _{B}}$

其中

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{A}&:=\left[\beta +\left({\frac {1-\beta }{4}}\right)\left(1+{\frac {1}{4{\sqrt {\sec \alpha _{A}}}}}\right)^{2}\right]{\sqrt {\sec \alpha _{A}}}\\\Phi _{B}&:=1+\left[{\frac {{\sqrt {\sec \alpha _{AB}}}-1}{1+0.21\sin \left\{8\,\tan ^{-1}\left[\left({\frac {\alpha _{A}-\alpha _{B}}{\alpha _{A}+\alpha _{B}}}\right)^{0.9}\right]\right\}}}\right]\end{aligned}}}$

其中

${\displaystyle \beta$ :=\sin \left({\frac {\pi \alpha _{B}}{\alpha _{A}+\alpha _{B}}}\right)~,~~\alpha _{A}:={\frac {\pi a}{2d}}~,~~\alpha _{B}:={\frac {\pi a}{4b-2d}}~;~~\alpha _{AB}:={\frac {4}{7}}\,\alpha _{A}+{\frac {3}{7}}\,\alpha _{B}\,.}

在上述表达试中，${\displaystyle d}$是从裂纹中心到距离点A最近边界的距离。但是当${\displaystyle d=b}$时，上述表达式不会简化为关于中心裂纹的近似表达式。

单轴应力下有限平面中的边缘裂纹

对于一个尺寸为${\displaystyle 2h\times b}$2的平面，包含长度${\displaystyle a}$的无约束边缘裂纹，如果板的尺寸满足${\displaystyle h/b\geq 0.5}$和${\displaystyle a/b\leq 0.6}$，则在单轴应力${\displaystyle \sigma }$下，裂纹尖端的应力强度因子为：[5]

${\displaystyle K_{\rm {I}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left[1.122-0.231\left({\frac {a}{b}}\right)+10.55\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}-21.71\left({\frac {a}{b}}\right)^{3}+30.382\left({\frac {a}{b}}\right)^{4}\right]\,.}$

对于${\displaystyle h/b\geq 1}$和 ${\displaystyle a/b\geq 0.3}$的情况，应力强度因子可近似得：

${\displaystyle K_{\rm {I}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left[{\frac {1+3{\frac {a}{b}}}{2{\sqrt {\pi {\frac {a}{b}}}}\left(1-{\frac {a}{b}}\right)^{3/2}}}\right]\,.}$

双轴加载平面中的倾斜裂缝。

对于一个长度为${\displaystyle 2a}$的倾斜裂纹，在双轴向应力场中，应力在${\displaystyle y}$方向为${\displaystyle \sigma }$，在${\displaystyle x}$方向为${\displaystyle \alpha \sigma }$，应力强度因子为：[7][8]

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left(\cos ^{2}\beta +\alpha \sin ^{2}\beta \right)\\K_{\rm {II}}&=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left(1-\alpha \right)\sin \beta \cos \beta \end{aligned}}}$ 其中${\displaystyle \beta }$是裂缝与${\displaystyle x}$轴所成的角度

在局部作用力${\displaystyle F_{x}}$和${\displaystyle F_{y}}$下的平面裂纹

一个尺寸为${\displaystyle 2h\times 2b}$的平面，含有长度为${\displaystyle 2a}$的裂缝。在板的点（${\displaystyle x,y}$）处施加具有分量${\displaystyle F_{x}}$和${\displaystyle F_{y}}$的力。

在平面比裂纹尺寸大，且力的位置相对靠近裂纹的情况下，即${\displaystyle h\gg a}$，${\displaystyle b\gg a}$，${\displaystyle x\ll b}$，${\displaystyle y\ll h}$，可将平面视为无限大，这种情况下，裂纹尖端B（${\displaystyle x=a}$）处的${\displaystyle F_{x}}$的应力强度因子为：[8][12]

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&={\frac {F_{x}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +1}}\right)\left[G_{1}+{\frac {1}{\kappa -1}}H_{1}\right]\\K_{\rm {II}}&={\frac {F_{x}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left[G_{2}+{\frac {1}{\kappa +1}}H_{2}\right]\end{aligned}}}$

其中

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{1}&=1-{\text{Re}}\left[{\frac {a+z}{\sqrt {z^{2}-a^{2}}}}\right]\,,\,\,G_{2}=-{\text{Im}}\left[{\frac {a+z}{\sqrt {z^{2}-a^{2}}}}\right]\\H_{1}&={\text{Re}}\left[{\frac {a({\bar {z}}-z)}{({\bar {z}}-a){\sqrt {{\bar {z}}^{2}-a^{2}}}}}\right]\,,\,\,H_{2}=-{\text{Im}}\left[{\frac {a({\bar {z}}-z)}{({\bar {z}}-a){\sqrt {{\bar {z}}^{2}-a^{2}}}}}\right]\end{aligned}}}$

${\displaystyle z=x+iy}$，${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$，${\displaystyle \kappa =3-4\nu }$用于平面应变，${\displaystyle \kappa =(3-\nu )/(1+\nu )}$用于平面应力，其中${\displaystyle \nu }$是泊松比。

在B端点${\displaystyle F_{y}}$的应力强度因子为：

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&={\frac {F_{y}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left[G_{2}-{\frac {1}{\kappa +1}}H_{2}\right]\\K_{\rm {II}}&=-{\frac {F_{y}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +1}}\right)\left[G_{1}-{\frac {1}{\kappa -1}}H_{1}\right]\,.\end{aligned}}}$

点A（${\displaystyle x=-a}$）处的应力强度因子可根据上述关系确定。对于在位置${\displaystyle (x,y)}$ 处施加${\displaystyle F_{x}}$荷载的应力强度因子为：

${\displaystyle K_{\rm {I}}(-a;x,y)=-K_{\rm {I}}(a;-x,y)\,,\,\,K_{\rm {II}}(-a;x,y)=K_{\rm {II}}(a;-x,y)\,.}$

${\displaystyle F_{y}}$的应力强度因子相似：

${\displaystyle K_{\rm {I}}(-a;x,y)=K_{\rm {I}}(a;-x,y)\,,\,\,K_{\rm {II}}(-a;x,y)=-K_{\rm {II}}(a;-x,y)\,.}$

平面裂纹荷载

如果裂纹受到位于${\displaystyle y=0}$且${\displaystyle -a<x<a}$的点作用力${\displaystyle F_{y}}$加载，B处的应力强度因子为：[7]

${\displaystyle K_{\rm {I}}={\frac {F_{y}}{2{\sqrt {\pi a}}}}{\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}\,,\,\,K_{\rm {II}}=-{\frac {F_{x}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +1}}\right)\,.}$

如果力在${\displaystyle -a<x<a}$之间均匀分布，则B点的应力强度因子为：

${\displaystyle K_{\rm {I}}={\frac {1}{2{\sqrt {\pi a}}}}\int _{-a}^{a}F_{y}(x)\,{\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}\,{\rm {d}}x\,,\,\,K_{\rm {II}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +1}}\right)\int _{-a}^{a}F_{y}(x)\,{\rm {d}}x,\,.}$

如果裂纹间距远远大于裂纹长度（${\displaystyle h\gg a}$），可忽略邻近裂纹之间的相互作用，应力强度因子等于长度为2a的单一裂纹的应力强度因子，裂纹尖端的应力强度因子为：

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&=\sigma {\sqrt {\pi a}}\end{aligned}}}$

如果裂纹长度远大于间距（${\displaystyle a\gg h}$），则裂纹可以被视为半无限裂纹的堆叠，裂纹尖端应力强度因子为：

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&=\sigma {\sqrt {h}}\end{aligned}}}$

用于断裂韧性测试的紧凑拉伸样品

紧凑拉伸试样裂纹尖端的应力强度因子为：[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&={\frac {P}{B}}{\sqrt {\frac {\pi }{W}}}\left[16.7\left({\frac {a}{W}}\right)^{1/2}-104.7\left({\frac {a}{W}}\right)^{3/2}+369.9\left({\frac {a}{W}}\right)^{5/2}\right.\\&\qquad \left.-573.8\left({\frac {a}{W}}\right)^{7/2}+360.5\left({\frac {a}{W}}\right)^{9/2}\right]\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle P}$是施加的载荷，${\displaystyle B}$是试样厚度，${\displaystyle a}$是裂纹长度，${\displaystyle W}$是试样的宽度。

用于断裂韧性测试的单边缺口弯曲试样（也称为三点弯曲试样）

单边缺口弯曲试样裂纹尖端的应力强度因子为：[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&={\frac {4P}{B}}{\sqrt {\frac {\pi }{W}}}\left[1.6\left({\frac {a}{W}}\right)^{1/2}-2.6\left({\frac {a}{W}}\right)^{3/2}+12.3\left({\frac {a}{W}}\right)^{5/2}\right.\\&\qquad \left.-21.2\left({\frac {a}{W}}\right)^{7/2}+21.8\left({\frac {a}{W}}\right)^{9/2}\right]\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle P}$是施加的载荷，${\displaystyle B}$是试样厚度，${\displaystyle a}$是裂纹长度，${\displaystyle W}$是试样的宽度。