度分布

度分布是图论和（复杂）网络理论中都存在的概念。首先介绍图的概念。一个图${\displaystyle G=G(V,E)}$是一个由两个集合${\displaystyle V}$和${\displaystyle E}$构成的二元组。集合${\displaystyle V}$一般由有限个元素构成：${\displaystyle V=\{v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}\}}$，其中的元素${\displaystyle v_{i},\,i=1,2,\cdots ,n}$被称为图的顶点。集合${\displaystyle E}$是由${\displaystyle n^{2}}$个元素构成的集合：${\displaystyle E=\{e_{i,j}\,\,|\,\,i=1,2,\cdots ,n,\,j=1,2,\cdots ,n\}}$。${\displaystyle E}$中的每个元素都是一个非负整数。无向图中，${\displaystyle E}$的一个元素${\displaystyle e_{i,j}=k}$，表示${\displaystyle V}$中的两个顶点${\displaystyle i}$和${\displaystyle j}$连有${\displaystyle k}$条边，并且规定${\displaystyle e_{i,j}=e_{j,i}}$。有向图中，${\displaystyle E}$的一个元素${\displaystyle e_{i,j}=k}$，表示${\displaystyle V}$中的顶点${\displaystyle i}$有${\displaystyle k}$条连向顶点${\displaystyle j}$的边。如果一个图${\displaystyle G}$中所有的${\displaystyle e_{i,j}}$都不超过1，并且${\displaystyle \forall i=1,2,\cdots ,n,\,\,e_{i,i}=0}$，那么称图${\displaystyle G}$是简单图。

网络理论的数学框架建立在图论上。网络理论中的网络其实就是图论中的图，但在网络理论中称之为网络，图的顶点在网络理论中称为节点，边被称为连结。以下仍旧以图论中的术语定义度分布。

一个无向图${\displaystyle G=G(V,E)}$中某个顶点${\displaystyle v_{i_{0}}}$的度，是指所有与它相连的边的数目。

${\displaystyle d(v_{i_{0}})=\sum _{i=i_{0}}e_{i,j}}$

有向图中，根据连出边的数目和连入边的数目，分为出度${\displaystyle d_{out}}$和入度${\displaystyle d_{in}}$。

${\displaystyle d_{out}(v_{i_{0}})=\sum _{i=i_{0}}e_{i,j}}$

${\displaystyle d_{in}(v_{i_{0}})=\sum _{j=i_{0}}e_{i,j}}$

因此，一个无向图${\displaystyle G=G(V,E)}$中，${\displaystyle d}$可以看成将每个顶点映射到一个非负整数的函数：

${\displaystyle d:\,v_{i}\mapsto d(v_{i})\quad i=1,2,\cdots ,n.}$

而度分布则是对每个非负整数${\displaystyle m}$，考察度数是${\displaystyle m}$的顶点在所有顶点中占的比例：

${\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} ,\,\,P:m\mapsto P(m)={\frac {\operatorname {Card} \{v_{i}\,|\,d(v_{i})=m\}}{n}},}$[1]

因此满足：

${\displaystyle \sum _{m\in \mathbb {N} }P(m)=1.}$

从顶点中等概率地随机抽取一个顶点，那么这个顶点度数为${\displaystyle k}$的概率就是${\displaystyle P(k)}$。

由十个顶点构成的图

以下给出一些度分布的例子。右图是由十个顶点构成的无向图。其中度数是4的顶点有3个，度数是3的顶点有6个，度数是6的顶点有1个，所以度分布是：

${\displaystyle P(m)={\begin{cases}0.3,&m=4\\0.6,&m=3\\0.1,&m=6\\0,&m\neq 3,4,6\end{cases}}}$

对于${\displaystyle n}$阶完全图，所有的顶点的度数都是${\displaystyle n-1}$，所以度分布是：

${\displaystyle P(m)={\begin{cases}1,&m=n-1\\0,&m\neq n-1\end{cases}}}$

图3.随机网络的度（a）集中在某个特定值${\displaystyle d_{c}}$附近，而无尺度网络的度分布（b）则遵守幂律分布

如果图${\displaystyle G}$是任意两顶点之间以概率${\displaystyle 0<p<1}$连边的随机图，那么每个顶点都有相同的度分布。

${\displaystyle P(m)={\binom {n-1}{m}}p^{m}(1-p)^{n-1-m}.}$[2]

这个分布是泊松分布。我们可以构造每个顶点的度数都是这样的概率分布的随机图模型。这样当顶点数很大的时候，度数是${\displaystyle k}$的顶点的个数占的比例大致是${\displaystyle P(k)}$。这个分布的特点是当k很小或很大的时候，${\displaystyle P(k)}$都近似于0，${\displaystyle P(k)}$的值在一个特定的值处达到高峰，然后回落。也就是说，大多数的顶点的度数在这个特定值左右。然而在真实的复杂网络中，人们观察到，度分布并不像这种随机图模型显示的，聚集在某个特定值周围，而是随着k增大而以多项式速度递减，也就是遵从所谓的幂律分布：

${\displaystyle P(k)\propto {\frac {1}{k^{\gamma }}}}$

也就是说${\displaystyle P(k)}$ 的概率反比于${\displaystyle k}$ 的某个幂次，其中${\displaystyle \gamma }$是某个正实数。这种网络特性被称为无尺度特性[3][4]。

引用

期刊文章

• Albert, R.; Barabasi, A.-L. . Reviews of Modern Physics. 2002, 74: 47–97. Bibcode:2002RvMP...74...47A. arXiv:cond-mat/0106096 . doi:10.1103/RevModPhys.74.47. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
• Dorogovtsev, S.; Mendes, J. F. F. . Advances in Physics. 2002, 51 (4): 1079–1187. Bibcode:2002AdPhy..51.1079D. arXiv:cond-mat/0106144 . doi:10.1080/00018730110112519. 引文使用过时参数coauthors (帮助)

书籍

• Shlomo Havlin, Reuven Cohen. . Cambridge University Press. 2010 [2013-04-20]. （原始内容存档于2011-10-04）.

• 图的连通性
• 集聚系数
• 複雜網路
• 無尺度網路
• 隨機圖
• 圖論