无尺度网络

无尺度网络的概念是随着对复杂网络的研究而出现的。“网络”其实就是数学中图论研究的图，由一群顶点以及它们之间所连的边构成。在网络理论中则换一套说法，用“节点”代替“顶点”，用“连结”代替“边”[2]^:4[3]^:9。复杂网络的概念，是用来描述由大量节点以及这些节点之间错综复杂的联系所构成的网络。这样的网络会出现简单网络中没有的特殊拓扑特性[3]^:2。

自二十世纪60年代开始，对复杂网络的研究主要集中在随机网络上。随机网络，又称随机图，是指通过随机过程制造出的复杂网络。最典型的随机网络是保罗·埃尔德什和阿尔弗雷德·雷尼提出的ER模型。ER模型是基于一种“自然”的构造方法：假设有${\displaystyle n}$个节点，并假设每对节点之间相连的可能性都是常数${\displaystyle 0<p<1}$。这样构造出的网络就是ER模型网络。科学家们最初使用这种模型来解释现实生活中的网络[2]^:7-9。

ER模型随机网络有一个重要特性，就是虽然节点之间的连接是随机形成的，但最后产生的网络的度分布是高度平等的。度分布是指节点的度的分布情况。在网络中，每个节点都与另外某些节点相连，这种连接的数目叫做这个节点的度。在网络中随机抽取一个节点，它的度是多少呢？这个概率分布就称为节点的度分布[3]^:11。

在一般的随机网络（如ER模型）中，大部分的节点的度都集中在某个特殊值附近，成钟形的泊松分布规律（见图3）[4]。偏离这个特定值的概率呈指数性下降，远大于或远小于这个值的可能都是微乎其微的[3]^:11，就如一座城市中成年居民的身高大致的分布一样。然而在1998年，Albert-László Barabási、Réka Albert等人合作进行一项描绘万维网的研究时，发现通过超链接与网页、文件所构成的万维网网络并不是如一般的随机网络一样，有着均匀的度分布[5][6]。他们发现，万维网是由少数高连接性的页面串联起来的。绝大多数（超过80%）的网页只有不超过4个超链接，但极少数页面（不到总页面数的万分之一）却拥有极多的链接，超过1000个，有一份文件甚至与超过200万个其他页面相连。与居民身高的例子作类比的话，就是说大多数的节点都是“矮个子”，而却又有极少数的身高百丈的“巨人”。Barabási等人将其称为“无尺度”网络[5]。

图3.随机网络的度（a）集中在某个平均值${\displaystyle d_{c}}$附近，而无尺度网络的度分布（b）则遵守幂律分布

无尺度网络的特性，在于其度分布没有一个特定的平均值指标，即大多数节点的度在此附近。在研究这个网络的度分布时，Barabási等人发现其遵守幂律分布（也称为帕累托分布），也就是说，随机抽取一个节点，它的度${\displaystyle d}$是自然数${\displaystyle k}$的概率：

${\displaystyle \mathbb {P} (d=k)\propto {\frac {1}{k^{\gamma }}}}$

也就是说${\displaystyle d=k}$ 的概率正比于${\displaystyle k}$ 的某个幂次（一般是负的，记为${\displaystyle -\gamma }$）。因此${\displaystyle k}$越大，${\displaystyle d=k}$ 的概率就越低。然而这个概率随${\displaystyle k}$增大而下降的“速度”是比较缓慢的：在一般的随机网络中，下降的速度是指数性的，而在无尺度网络中只是以多项式类的速度下降[3]^:12。

在现实中许多大规模的无尺度网络中，度分布的${\displaystyle \gamma }$值介于2与3之间[3]^:14。在对数坐标系中，度分布将会是一条斜率介于-2至-3之间的直线[3]^:12。如左下图中，横坐标为节点的度，从${\displaystyle 10^{0}}$一直到${\displaystyle 10^{3}}$；纵坐标为找到这样的节点的概率从${\displaystyle 10^{-8}}$一直到${\displaystyle 10^{0}}$。最高度数的节点有882条连接。所有的蓝点大致成一条直线分布（绿色的直线）。

度-度相关性

图4.200,000个节点的无尺度网络的度分佈（对数坐标）

仅仅是将度分布的幂律分布作为无尺度网络的定义有其不够完善之处。由于幂律分布是方差可能无穷的高可变分布，对于度分布是同一个幂律分布的不同网络，其拓扑结构和特性可能存在巨大的差异。2005年，Lun Li和大卫·阿尔德森（David Alderson）等人在论文《迈向无标度图的理论》（Towards a Theory of Scale Free Graphs）中提出了一种补充性的标度性测度[7]。设${\displaystyle G(D)}$为所有具有（依照幂律分布的）度分布${\displaystyle D=(d_{1},d_{2},\cdots )}$的网络${\displaystyle g}$的集合，对于其中每一个网络${\displaystyle g\in G(D)}$，定义度-度相关数：

${\displaystyle s(g)=\sum _{(i,j)\in \epsilon (g)}d_{i}d_{j}.}$

其中${\displaystyle \epsilon (g)}$表示${\displaystyle g}$中所有连接的集合。根据排序原理，如果度数大的点之间相互连接的话，那么${\displaystyle s(g)}$会比较大。设${\displaystyle s_{max}}$为最大的，那么定义度-度相关系数：

${\displaystyle S(g)={\frac {s(g)}{s_{max}}}}$

度-度相关系数${\displaystyle S(g)}$介于0与1之间。${\displaystyle S(g)}$越靠近1，则称此网络${\displaystyle g}$“无尺度”的，${\displaystyle S(g)}$靠近0，则称${\displaystyle g}$是“富尺度”的。在此定义下，无尺度网络中的节点度数分布特征体现了自相似的性质，而凸显了“无尺度”的特征，与富尺度网络之间有相当的差异[7]。

不少现实中的网络结构都属于无尺度网络，或者有无尺度的特性。以下是一些无尺度网络的例子：

图5.制造BA模型的过程：每次增加一个节点，两个连接

Albert-László Barabási与Réka Albert在1999年的论文中提出了一个模型来解释复杂网络的无尺度特性，称为BA模型[6]。这个模型基于两个假设：

• 增长模式：不少现实网络是不断扩大不断增长而来的，例如互联网中新网页的诞生，人际网络中新朋友的加入，新的论文的发表，航空网络中新机场的建造等等。
• 优先连接模式：新的节点在加入时会倾向于与有更多连接的节点相连，例如新网页一般会有到知名的网络站点的连接，新加入社群的人会想与社群中的知名人士结识，新的论文倾向于引用已被广泛引用的著名文献，新机场会优先考虑建立与大机场之间的航线等等。

在这种假设下，BA模型的具体构造为：

1. 增长：从一个较小的网络${\displaystyle G_{0}}$开始（这个网络有${\displaystyle n_{0}}$个节点，${\displaystyle E_{0}}$条边），逐步加入新的节点，每次加入一个。
2. 连接：假设原来的网络已经有${\displaystyle n}$个节点（${\displaystyle s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n}}$）。在某次新加入一个节点${\displaystyle s_{n+1}}$时，从这个新节点向原有的${\displaystyle n}$个节点连出${\displaystyle m<n_{0}}$个连结。
3. 优先连接：连接方式为优先考虑高度数的节点。对于某个原有节点${\displaystyle s_{i}}$（${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n}$），将其在原网络中的度数记作${\displaystyle d_{i}}$，那么新节点与之相连的概率${\displaystyle \mathbb {P} _{i}}$为：

   ${\displaystyle \mathbb {P} _{i}={\frac {d_{i}}{\sum _{j=1}^{n}d_{j}}}}$

这样，在经过${\displaystyle t}$次之后，得到的新网络有${\displaystyle n_{0}+t}$个节点，一共有${\displaystyle E_{0}+mt}$条边[6][3]^:27-28。

分析BA模型网络的渐近度分布（当节点数量很大时的度分布）主要有连续场理论、主方程法和速率方程法。这三种方法得到的渐近结果都是相同的。2001年，Béla Bollobás证明了在节点数量很大时，BA模型网络的度分布遵从${\displaystyle \gamma =3}$的幂律分布[13][3]^:29。之后，其它的无尺度网络模型也开始被提出。

BA模型成功的为无尺度网络找到了一个简单而合理的形成机制。然而，BA模型也有其自身的局限。例如，它只能描述${\displaystyle \gamma =3}$的无尺度网络，对于真实网络的一些非幂律特征如指数截断（exponential cutoff）、小变量饱和（saturation of small variables）等无法描述[3]^:33。因此，各种BA模型的推广、变化版本开始出现。Bollobás在2001年提出了线性弦图模型（LCD模型），允许节点自己与自己相连[14]。而后又出现了只允许重复连线而不允许自连线的模型[15]与不允许重复连线、自连线而是在选中的旧节点的邻域随机联线的模型[16]。

分层模型

图6.分层网络构造过程，n为模体级数，绿色为根节点

2001年，Barabási提出了第一个确定性的分层网络模型。这个模型是为了解释生物学中${\displaystyle \gamma \approx 2.2}$的代谢网络。分层模型的想法是从模体（motif）出发，通过自相似的层次叠加而得到复杂网络。这种思想类似于分数维图形。Barabási的模型是：

1. 建立一个根节点，以及两个一级节点，并分别于根节点相连，这形成一个一级模体（右图6中n=1的阶段）；
2. 以一个一级模体作为根模体，再建立两个一级模体，将它们的一级节点（一共4个）与根模体的根节点相连，这样得到一个二级模体（右图6中n=2的阶段）；
3. 对二级模体重复前一步的操作（见右图n=3的阶段）。

图7.伪分形图构造过程，第一步为红边，第二步为粉边，第三部为绿边

这样形成的网络是无尺度网络，Barabási算出它的${\displaystyle \scriptstyle \gamma ={\frac {\log {3}}{\log {2}}}}$[20]。后来有使用5节点4连结作为模体，得到${\displaystyle \gamma =1}$，而4节点3连结作为模体得到${\displaystyle \scriptstyle \gamma =1+{\frac {\log {4}}{\log {3}}}\approx 2.26}$，近似于代谢网络。需要注意的是此模型中不少度数是0概率的，所以需要使用补分布绕过。类似的确定性模型还有伪分形图（pseudofractal scale-free network）[21]以及阿波罗模型（Apollonian network）[22]。

2000年7月27日，《自然》杂志的封面文章标题是《因特网的阿喀琉斯之踵》（Achilles' Heel of the Internet）。阿喀琉斯是古希腊神话中的英雄，他出生后，他的母亲捏着他的脚踝将他浸泡在冥河中，从此他的身体刀枪不入，只有踵部没被浸到，是为其致命弱点。因此如今“阿喀琉斯之踵”常被用来称呼一个系统的致命缺陷[23]。这篇文章中从因特网的无尺度特性出发，探讨它对意外故障的承受能力。

假设在一个网络中移除一个节点，以及与其相关的连接，那么原网络中的其他点也可能受到影响：原本相连的两个节点可能不再相连；即使相连，从其中一处到另一处可能需要经过更多的路途。总的来说，网络的连通性降低了。文章比较了ER随机网络模型与BA模型在移除少量节点时对网络连通性的影响[24]。这个影响主要使用最大连通子图的大小${\displaystyle S}$与平均路径长度${\displaystyle l}$来衡量。在执行“随机攻击策略”，也就是在网络中随机地去除一些节点时，无尺度网络的${\displaystyle S}$比随机网络下降慢得多，${\displaystyle l}$的增长也缓慢得多。但是在执行“蓄意攻击策略”，也就是选择移除连接度最高的节点时，则会得到相反的结果[24]。受到随机攻击的随机图会分裂成几个较小的子图，而无尺度网络则有很大概率保持连通；然而面对蓄意攻击（或称协同攻击）时，只需要移除5-10%的高于5度的节点，就能彻底瘫痪无尺度网络[3]^:31-33。

音乐会或歌剧完场时，台下的观众不间断地鼓掌。在很短几次后，鼓掌的频率就会变得同步。这种现象显示出网络的同步性。研究表明，网络动力系统的同步性取决于节点动力系统的特性，节点的耦合方式与网络的结构。对于BA模型网络，节点数的增加不会降低网络同步的稳定性。而面对随机攻击和蓄意攻击，BA模型网络的同步性与连通性表现出相同的特征：对于随机攻击承受性强，而对蓄意攻击则显得脆弱[3]^:79。

• Eric D. Kolaczyk. . Springer; 1 edition. 2009. ISBN 978-0387881454 （英语）.
• Richard Durrett. . Cambridge University Press. 2007. ISBN 978-0-521-86656-9 （英语）.

• snGraph （页面存档备份，存于） （英文）
• The Erdős Webgraph Server （页面存档备份，存于） （英文）

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