康托尔函数

若在[0, 1]上定义的f(x)满足下列四个条件，则f(x)即为康托尔函数：[1]

1. ${\displaystyle \forall 0\leq x<y\leq 1,f(x)\leq f(y)}$
2. ${\displaystyle f(0)=0}$
3. ${\displaystyle f({\frac {1}{3}}x)={\frac {1}{2}}f(x)}$
4. ${\displaystyle f(1-x)=1-f(x)}$

下面我们构造一个函数序列{f_n(x)}，这个序列将收敛于康托尔函数： 首先定义

${\displaystyle f_{0}(x)=x}$

接下来，对于每个正整数n，函数f_n+1(x)都由函数f_n(x)定义：

${\displaystyle f_{n+1}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\times f_{n}(3x)&{\mbox{if }}0\leq x<{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}{\frac {1}{3}}\leq x<{\frac {2}{3}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\times f_{n}(3x-2)&{\mbox{if }}{\frac {2}{3}}\leq x\leq 1\end{cases}}}$

检查 f_n(x)是否每个点都收敛于之前定义的康托尔函数，我们可以发现，

${\displaystyle \max _{x\in [0,1]}|f_{n+1}(x)-f_{n}(x)|\leq {\frac {1}{2}}\,\max _{x\in [0,1]}|f_{n}(x)-f_{n-1}(x)|,\quad n\geq 1.}$

设f(x)是极限函数, 那么对于任意非负整数n都有，

${\displaystyle \max _{x\in [0,1]}|f(x)-f_{n}(x)|\leq 2^{-n+1}\,\max _{x\in [0,1]}|f_{1}(x)-f_{0}(x)|.}$

另外可以注意到只要满足f₀(0) = 0, f₀(1) = 1 且f₀ 有界，起始函数f₀(x)具体是什么函数并不重要。

1. Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2014-01-23]. （原始内容存档于2019-02-14） （英语）.