归结原理

在命题逻辑中的归结规则是一个单一的有效的推理规则，从两个子句生成它们所蕴含的一个新的子句。归结规则接受包含互补的文字的两个子句 - 子句是文字的析取式，并生成带有除了互补的文字的所有文字的一个新子句。形式上，这里的${\displaystyle a_{i}}$和${\displaystyle b_{j}}$是互补的文字：

${\displaystyle {\frac {a_{1}\lor \ldots \vee a_{i-1}\vee a_{i}\vee a_{i+1}\vee \ldots \lor a_{n},\quad b_{1}\lor \ldots \vee b_{j-1}\vee b_{j}\vee b_{j+1}\vee \ldots \lor b_{m}}{a_{1}\lor \ldots \lor a_{i-1}\lor a_{i+1}\lor \ldots \lor a_{n}\lor b_{1}\lor \ldots \lor b_{j-1}\lor b_{j+1}\lor \ldots \lor b_{m}}}}$

归结规则生成的子句叫做两个输入子句的归结（resolvent）。

当两个子句包含多于一对的互补文字的时候，归结规则可以（独立的）应用到每个这种文字对上。但是，只有要消去（resolve）的文字对可以去除：所有其他文字对仍保留在归结后的子句中。

当外加上完备的搜索算法的时候，归结规则生成一个可靠的和完备的算法来决定命题公式的可满足性，并且经过扩展，决定句子在一组公理下的有效性。

这种归结技术使用反证法，并基于在命题逻辑中的任何句子都能转换成等价的合取范式句子的事实。步骤如下：

• 在知识库中所有句子和要证明的句子（猜测（conjecture）)的否定都合取连结。
• 结果的句子变换成合取范式（处理成一组子句）。
• 把归结规则应用到包含互补的文字的所有可能的子句对，通过除去重复的文字来简化结果的句子。如果句子包含互补的文字，则（作为重言式）丢弃它。如果没有，并且它在子句的集合中仍然不存在，则增加上它，并考虑做进一步的归结推理。
• 如果在应用归结规则之后推导出空子句，则全部的公式是不可满足的（或者说矛盾的），所以可以做出最初的猜测从这些公理中推出的结论。
• 在另一方面，如果不能推导出空子句，并且不能应用归结规则推导更多的新子句，则这个猜测不是最初的知识库的定理。

这个算法的一个实例是最初的Davis-Putnam算法，它后来被精制成去除了对归结出的子句的显式表示的需求的DPLL算法。