情境最佳化

在最优化的應用中，強健性的特點會轉變成一些拘束條件，其中的參數是問題中的未知量。在情境最佳化方法[1][2][3]中，會用亂數取樣的方式，找到一些亂數取樣的拘束樣本（启发法），這些拘束樣本稱為「情境」（scenarios），會先只根據這些拘束條件找到一個解，之後再配合其他方法求得這個解和其他拘束之間的強健性。此理論證實了在強健最佳化及機會約束最佳化中，使用亂數是合理的。

有時情境的資訊是由模型中以亂數的方式拮取出來。不過更常見的是情境是從觀測資料中找到的不確定事件（数据科学）。在後者的情形下，不需要不確定性的模型即可以產生情境。最值得注意的是，此情形下的情境最佳化伴隨著的是 成熟的理論，因為所有情境最佳化的結果都和分佈無關，因此可以應用在沒有不確定性模型或是缺乏類似資訊的情形下。

針對凸拘束（也就是和线性矩阵不等式有關的半定問題），已有深入的理論分析說明新的拘束無法滿足的機率是依照以β分布為主的分布。針對所有凸優化問題的結果也是如此[3]。再繼續擴展，有許多實驗等級的結果是依照狄利克雷分布，其邊緣分布為β分布[4]。也有探討過配合${\displaystyle L_{1}}$正則化的情境最佳化[5]，也有便利的算法，可以簡化運算的複雜度[6]。有關更複雜、非凸拘束的研究是目前熱門的研究主題。

配合情境最佳化，可以在風險和回報中取得權衡[7][8]，而且有完整的方法可以將此結果應用在控制上[9]。一開始先選擇${\displaystyle N}$個拘束開始進行最佳化，之後持續的移除其中的一些拘束，移除過程可以用不同的方式行，甚至是利用貪心法。每當多消除一個拘束後，會更新最佳化的解，也會得到對應最佳化的數值。在此程序持續進行時，可以得到經驗式的「最佳值曲線」，也就是在移除多少數量的拘束後，最佳值的變化。情境最佳化可以針對各個解的強健性作準確的評估。

此技術一個很大的進步是透過wait-and-judge方法得到的[10]：先評估解的複雜度（如前面所述），並根據其值的公式來評估解的強健性。這些結果可以看來複雜度和風險二個概念之間的深層關係。有一個相關的研究方式，稱為「重複情形設計」（Repetitive Scenario Design），是用透過重複的交替情境設計的階段（用較少的樣本）再隨機的確認其解的可行性，目的是要降低解的複雜度[11]。

考慮一函數${\displaystyle R_{\delta }(x)}$為投资的獲利，此函數和投資選擇向量${\displaystyle x}$及市場狀態${\displaystyle \delta }$有關，這些資訊在投資週期的最後會知道。

假設一個市場狀態的隨機模型，考慮有${\displaystyle N}$個可能狀態${\displaystyle \delta _{1},\dots ,\delta _{N}}$ （亂數或是不確定性）。接著，可以從觀察記錄中找到情境${\displaystyle \delta _{i}}$。

要求解以下的情境最佳化問題

${\displaystyle \max _{x}\min _{i=1,\dots ,N}R_{\delta _{i}}(x).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)}$

對應一個投資組合向量x，可以在最壞的情境下有最好的報酬[12][13]。

在求解(1)後，可以得到最佳投資策略${\displaystyle x^{\ast }}$，對應此情形的最佳報酬${\displaystyle R^{\ast }}$。當. While ${\displaystyle R^{\ast }}$只根據${\displaystyle N}$個可能的市場狀態求得時，透過情境最佳化理論可以得到其強健性最大到${\displaystyle \epsilon }$，意思是指，在其他的市場狀態下，可達到報酬${\displaystyle R^{\ast }}$達到的機率只有${\displaystyle 1-\epsilon }$。

在量化金融上，最壞條件的分析可能過於保守。另一種作法是不考慮一些奇怪的情形，以減少悲观情绪[7]，而情境最佳化也可以用在其他風險度量中，例如CVaR（风险条件值，Conditional Value at Risk），因此增加使用靈活度[14]。

應用領域包括：預測、系统科学、迴歸分析、精算學、最优控制、數理金融學、机器学习、决策、供应链及管理学等。