扩展图

包含 ${\displaystyle n}$ 个顶点的图 ${\displaystyle G=(V,E)}$ 的边扩展性 ${\displaystyle h(G)}$ 定义为

${\displaystyle h(G)=\min _{0<|S|\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {|\partial S|}{|S|}}}$

其中 ${\displaystyle \partial S:=\{\{u,v\}\in E\mid u\in S,v\in V\setminus S\}}$ 为子集 ${\displaystyle S}$ 的边界。注意在此定义中，最小值取于所有非空且大小不超过 ${\displaystyle n/2}$ 的顶点集[2]。

图 ${\displaystyle G}$ 的顶点扩展性 ${\displaystyle h_{\text{out}}(G)}$ 定义为

${\displaystyle h_{\text{out}}(G)=\min _{0<|S|\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {|\partial _{\text{out}}(S)|}{|S|}}}$

此处 ${\displaystyle \partial _{\text{out}}(S):=\{v\not \in S\mid \exists u\in S:\{u,v\}\in E\}}$ 是集合 ${\displaystyle S}$ 的外边缘[3]。顶点扩展性有一种变体，称作「唯一邻点扩展性」（），在这里 ${\displaystyle \partial _{\text{out}}(S):=\{v\not \in S\mid \exists !u\in S:\{u,v\}\in E\}}$[4]。

当 ${\displaystyle G}$ 是d-正则图时，可以借助线性代数中的特征值理论来定义扩展性，称作谱扩展性。具体而言，设 ${\displaystyle A}$ 是图 ${\displaystyle G}$ 的邻接矩阵，其中 ${\displaystyle A(i,j)}$ 记录了顶点 ${\displaystyle i,j}$ 之间的边数[5]。因为 ${\displaystyle A}$ 是实对称矩阵，根据谱定理知道它有 ${\displaystyle n}$ 个实特征值 ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}}$。可以证明它们都落在区间 ${\displaystyle [-d,d]}$内。

由于 ${\displaystyle G}$ 是正则图，所以 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上的均匀分布 ${\displaystyle \mathbf {u}$ :=(1/n,1/n,\dots ,1/n)} 是矩阵 ${\displaystyle A}$ 的特征向量，对应特征值 ${\displaystyle d=\lambda _{1}}$，即 ${\displaystyle A\mathbf {u} =d\mathbf {u} }$。图 ${\displaystyle G}$ 的谱间距（spectral gap）定义为 ${\displaystyle d-\lambda _{2}}$，它可以用作扩展性的量度。

对于d-正则图，Dodziuk[6]和Alon、Milman[7] 证明了

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(d-\lambda _{2})\leq h(G)\leq {\sqrt {2d(d-\lambda _{2})}}}$

这一不等式与马尔可夫链的Cheeger不等式有本质联系。