扩散模型

考虑图像生成问题。令${\displaystyle x}$代表一张图，令${\displaystyle p(x)}$为在所有可能图像上的機率分布。若有${\displaystyle p(x)}$本身，便可以肯定地说给定的一张图的機率有多大。但这在一般情况下是难以解决的。

大多数时候，我们并不想知道某个图像的绝对機率，相反，我们通常只想知道某个图像与它的周围相比，機率有多大：一张猫的图像与它的小变体相比，機率哪个大？如果图像里有一根、两根或三根胡须，或者加入了一些高斯噪声，機率会更大吗？

因此，我们实际上对${\displaystyle p(x)}$本身不感兴趣，而对${\displaystyle \nabla _{x}\ln p(x)}$感兴趣。这有两个效果：

• 其一，我们不再需要标准化${\displaystyle p(x)}$，而是可以用任何${\displaystyle {\tilde {p}}(x)=Cp(x)}$，其中${\displaystyle C=\int {\tilde {p}}(x)dx>0}$是任意常数，我们不需要去关心它。
• 其二，我们正在比较${\displaystyle p(x)}$的邻居${\displaystyle p(x+dx)}$，通过${\displaystyle {\frac {p(x)}{p(x+dx)}}=e^{-\langle \nabla _{x}\ln p,dx\rangle }}$

令分数函数为${\displaystyle s(x):=\nabla _{x}\ln p(x)}$，然后考虑我们能对${\displaystyle s(x)}$做什么。

实际上，${\displaystyle s(x)}$允许我们用随机梯度朗之万动力学从${\displaystyle p(x)}$中取样，这本质上是马尔可夫链蒙特卡洛的无限小版本。[2]

分数函数可通过加噪-去噪学习。[1]

假设我们希望不是从整个图像的分布中取样，而是以图像描述为条件取样。我们不想从一般的图像中取样，而是从符合描述“红眼睛的黑猫”的图片中取样。一般来说，我们想从分布${\displaystyle p(x|y)}$中取样，其中${\displaystyle x}$的范围是图像，${\displaystyle y}$的范围是图像的类别（对y而言，“红眼黑猫”的描述过于精细，“猫”又过于模糊）。

从噪声信道模型的角度来看，我们可以将这一过程理解如下：为生成可描述为${\displaystyle y}$的图像${\displaystyle x}$，我们设想请求者脑海中真有一张图像${\displaystyle x}$，但它经过多次加噪，出来的是毫无意义可言的乱码，也就是${\displaystyle y}$。这样一来图像生成只不过是推断出请求者心中的${\displaystyle x}$是什么。

换句话说，有条件的图像生成只是“从文本语言翻译成图像语言”。之后，像在噪声信道模型中一样，我们可以用贝叶斯定理得到

$${\displaystyle p(x|y)\propto p(y|x)p(x)}$$

也就是说，如果我们有一个包含所有图像空间的好模型，以及一个图像到类别的好翻译器，我们就能“免费”得到一个类别到图像的翻译器，也就是文本到图像生成模型。 SGLD使用

$${\displaystyle \nabla _{x}\ln p(x|y)=\nabla _{x}\ln p(y|x)+\nabla _{x}\ln p(x)}$$

其中${\displaystyle \nabla _{x}\ln p(x)}$是分数函数，如上所述进行训练，用可微图像分类器便可以找到${\displaystyle \nabla _{x}\ln p(y|x)}$。

分类器引导的扩散模型会从${\displaystyle p(x|y)}$中取样，它集中在最大后验概率${\displaystyle \arg \max _{x}p(x|y)}$周围。如果我们想迫使模型向最大似然估计 ${\displaystyle \arg \max _{x}p(y|x)}$的方向移动，可以用

$${\displaystyle p_{\beta }(x|y)\propto p(y|x)^{\beta }p(x)}$$

其中${\displaystyle \beta >0}$可解释为逆温度，在扩散模型研究中常称其为制导尺度（guidance scale）。较高的${\displaystyle \beta }$会迫使模型在更靠近${\displaystyle \arg \max _{x}p(y|x)}$的分布中采样。这通常会提高生成图像的品質。[7] 这可以简单地通过SGLD实现，即

$${\displaystyle \nabla _{x}\ln p_{\beta }(x|y)=\beta \nabla _{x}\ln p(y|x)+\nabla _{x}\ln p(x)}$$

如果我们没有分类器${\displaystyle p(y|x)}$，我们仍可以从图像模型本身提取一个：[8]

$${\displaystyle \nabla _{x}\ln p_{\beta }(x|y)=(1-\beta )\nabla _{x}\ln p(x)+\beta \nabla _{x}\ln p(x|y)}$$

这样的模型通常要在训练时提供${\displaystyle (x,y)}$和${\displaystyle (x,None)}$，这样才能让它同时为${\displaystyle \nabla _{x}\ln p(x|y)}$和${\displaystyle \nabla _{x}\ln p(x)}$建模。

这是GLIDE[9]、DALL-E[10]和Google Imagen[11]等系统的重要组成部分。