扭歪多面體

在幾何學中，扭歪[1]多面體（英語：）是指頂點、邊或面並非全部位於同一個三維空間中的多面體，即扭歪多邊形的高一維類比，因此其無法找到一個唯一的內部區域以及其體積。

正扭歪多面體代表每個面全等、每條邊等長、每個角都相等的扭歪多面體，是一系列可能具有非平面的面或頂點圖。考克斯特的研究著重於具有扭歪頂點圖新的四維多面體，後期多由布蘭科·格林鲍姆研究有扭歪面的形狀[3]。

具有無限多個面的扭歪多面體稱為扭歪無限面體。除了扭歪無限面體之外的扭歪多面體僅能存在於四維或以上的空間。

歷史

關於考克斯特，1926年時，約翰·弗林德斯·皮特里將扭歪多邊形（非平面多邊形）的概念廣義化。

考克斯特針對這種圖提出一個施萊夫利符號的擴展符號 {l,m|n} ，其中以{l,m}表示其頂點：每個頂點都是m個l邊形的公共頂點。他們的頂點圖是扭歪多邊形，以鋸齒的形式存在於兩個面中。

能表示為{l,m|n}的正扭歪多面體存在以下等式：

第一系列的{l,m|n}正扭歪多面體與五個正多面體和一個星形正多面體相關：

{l, m | n} 面 邊 頂點 p 多面體 對稱性
階數
{3,3|3} = {3,3}4640正四面體12
{3,4|4} = {3,4}81260正八面體24
{4,3|4} = {4,3}61280立方體24
{3,5|5} = {3,5}2030120正二十面體60
{5,3|5} = {5,3}1230200正十二面體60
{5,5|3} = {5,5/2}1230124大十二面體60

四維的正扭歪多面體
A4 考克斯特平面投影
{4, 6 | 3} {6, 4 | 3}
截半五胞體
(60條邊、20個頂點)		 過截角五胞體
(60條邊、30個頂點)
F4 考克斯特平面投影
{4, 8 | 3} {8, 4 | 3}
截半二十四胞體
(576條邊、144個頂點)		 過截角二十四胞體
(576條邊、288個頂點)
一些位於半正多胞體中的四維扭歪多面體的投影

考克斯特在他的論文《三維和四維空間的正扭歪多面體及其類似物》[4]中列出了較多的一系列扭歪多面體。

偶數皆扭歪多面體
{l, m | n} 面 邊 頂點 p 結構 對稱性 階數 相關半正多胞體
{4,4| 3}91891D3xD3[[3,2,3]+]93-3 超柱體
{4,4| 4}1632161D4xD4[[4,2,4]+]164-4 超柱體 或 超立方體
{4,4| 5}2550251D5xD5[[5,2,5]+]255-5 超柱體
{4,4| 6}3672361D6xD6[[6,2,6]+]366-6 超柱體
{4,4| n}n22n2n21DnxDn[[n,2,n]+]n2n-n 超柱體
{4,6| 3}3060206S5[[3,3,3]+]60截半五胞體
{6,4| 3}2060306S5[[3,3,3]+]60過截角五胞體
{4,8| 3}28857614473[[3,4,3]+]576截半二十四胞體
{8,4| 3}14457628873[[3,4,3]+]576截半二十四胞體
五角星形的扭歪多面體
{l, m | n} 面 邊 頂點 p 結構 對稱性 階數 相關的多胞體
{4,5| 5}901807210A6[[5/2,5,5/2]+]360截半大星形一百二十胞體
{5,4| 5}721809010A6[[5/2,5,5/2]+]360過截角大星形一百二十胞體

參見

參考文獻
  1. Peter McMullen, Four-Dimensional Regular Polyhedra, Discrete & Computational Geometry September 2007, Volume 38, Issue 2, pp 355-387
  2. Coxeter, Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
  3. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 （页面存档备份，存于）
    • (Paper 2) H.S.M. Coxeter, "The Regular Sponges, or Skew Polyhedra", Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  4. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8
    • Coxeter, H. S. M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
  5. Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179-1186, 1967.
  6. Schulte, Egon and Wills, Jörg M. . Discrete mathematics (Elsevier). 1986, 60: 253–262 [2016-08-01]. （原始内容存档于2020-07-12）.
  1. . gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16]. （原始内容存档于2020-11-19）.
  2. McMullen, Peter; Schulte, Egon, 1st, Cambridge University Press, December 2002, ISBN 0-521-81496-0 p. 25
  3. Abstract Regular Polytopes[2] , p.7, p.17
  4. Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.
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