折纸公理

给定两点 ${\displaystyle p_{1}}$ 和 ${\displaystyle p_{2}}$，有且仅有一条折痕同时过这两点。

以参数方程表示的话，过2点的直线可以表示为：

${\displaystyle F(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1}).}$

给定两点 ${\displaystyle p_{1}}$ 和 ${\displaystyle p_{2}}$，有且仅有一种方法把 ${\displaystyle p_{1}}$ 折到 ${\displaystyle p_{2}}$ 上。

这条公理相当于是作线段 ${\displaystyle {\overline {p_{1}p_{2}}}}$的垂直平分线。这可以通过以下四个步骤完成：

• 使用公理1作出连结 ${\displaystyle p_{1}}$ 和 ${\displaystyle p_{2}}$ 的直线 ${\displaystyle P(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1})}$
• 找到直线 ${\displaystyle P(s)}$ 的中点 ${\displaystyle p_{mid}}$
• 找到垂直于 ${\displaystyle P(s)}$ 的向量 ${\displaystyle \mathbf {v_{perp}} }$
• 折痕的参数方程表示为：

${\displaystyle F(s)=p_{\mathrm {mid} }+s\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {perp} }.}$

给定两直线 ${\displaystyle l_{1}}$ 和 ${\displaystyle l_{2}}$，可以把 ${\displaystyle l_{1}}$ 折到 ${\displaystyle l_{2}}$ 上。

这条公理相当于是找出 ${\displaystyle l_{1}}$ 和 ${\displaystyle l_{2}}$ 组成的角的平分线。假设 ${\displaystyle p_{1}}$ 和 ${\displaystyle p_{2}}$ 是 ${\displaystyle l_{1}}$ 上任意两点，${\displaystyle q_{1}}$ 和 ${\displaystyle q_{2}}$ 是 ${\displaystyle l_{2}}$ 上任意两点，${\displaystyle \mathbf {u} }$ 和 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 分别是 ${\displaystyle l_{1}}$ 和 ${\displaystyle l_{2}}$ 方向的单位向量：

${\displaystyle \mathbf {u} =(p_{2}-p_{1})/\left|(p_{2}-p_{1})\right|}$

${\displaystyle \mathbf {v} =(q_{2}-q_{1})/\left|(q_{2}-q_{1})\right|.}$

如果两直线不平行，它们的交点为：

${\displaystyle p_{\mathrm {int} }=p_{1}+s_{\mathrm {int} }\cdot \mathbf {u} }$

其中

${\displaystyle s_{int}=-{\frac {\mathbf {v} _{\perp }\cdot (p_{1}-q_{1})}{\mathbf {v} _{\perp }\cdot \mathbf {u} }}.}$

两条直线所夹的一个角的平分线方向是：

${\displaystyle \mathbf {w} ={\frac {\left|\mathbf {u} \right|\mathbf {v} +\left|\mathbf {v} \right|\mathbf {u} }{\left|\mathbf {u} \right|+\left|\mathbf {v} \right|}}.}$

折痕的参数方程是：

${\displaystyle F(s)=p_{\mathrm {int} }+s\cdot \mathbf {w} .}$

这两直线还有另一个角平分线，两条角平分线互相垂直，且都过点 ${\displaystyle p_{int}}$。而沿着任意一条角平分线折都能将 ${\displaystyle l_{1}}$ 折到 ${\displaystyle l_{2}}$ 上。但在实践中可能因为交点的位置（比如交点在纸外）使沿着其中一条角平分线的折叠无法实施。

如果两条直线平行，那么只要沿着两直线中间的一条线（与两直线平行，到两直线距离相等）折叠就可以将 ${\displaystyle l_{1}}$ 折到 ${\displaystyle l_{2}}$ 上

给定一点 ${\displaystyle p_{1}}$ 和一条直线 ${\displaystyle l_{1}}$，有且仅有一种方法过 ${\displaystyle p_{1}}$ 折出 ${\displaystyle l_{1}}$ 的垂线。

向量 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 是垂直于 ${\displaystyle l_{1}}$ 的单位向量，那么折痕的参数方程是：

${\displaystyle F(s)=p_{1}+s\cdot \mathbf {v} .}$

给定两点 ${\displaystyle p_{1}}$ 和 ${\displaystyle p_{2}}$ 和一条直线 ${\displaystyle l_{1}}$，可以沿过 ${\displaystyle p_{2}}$ 的直线将 ${\displaystyle p_{1}}$ 折到 ${\displaystyle l_{1}}$ 上。

这个公理相当于找出圆和直线的交点，所以有最多2个解，最少也可能无解。这取决于直线 ${\displaystyle l_{1}}$ 和以${\displaystyle p_{2}}$ 为圆心，${\displaystyle p_{2}}$ 到 ${\displaystyle p_{1}}$ 的距离为半径的圆的位置关系。如果直线和圆不相交则无解，相切则有1解，相交则有2解.

如果我们知道直线上两点 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ 和 ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$，那么直线可以表示为：

${\displaystyle x=x_{1}+s(x_{2}-x_{1})\,}$

${\displaystyle y=y_{1}+s(y_{2}-y_{1}).\,}$

如果圆心 ${\displaystyle p_{2}=(x_{c},y_{c})}$，半径 ${\displaystyle r=\left|p_{1}-p_{2}\right|}$。那么这个圆可以表示为：

${\displaystyle (x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}=r^{2}.\,}$

为了确定圆和直线的交点，将直线方程代入圆方程，得：

${\displaystyle (x_{1}+s(x_{2}-x_{1})-x_{c})^{2}+(y_{1}+s(y_{2}-y_{1})-y_{c})^{2}=r^{2}.\,}$

或者可以简化为：

${\displaystyle as^{2}+bs+c=0\,}$

其中：

${\displaystyle a=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\,}$

${\displaystyle b=2(x_{2}-x_{1})(x_{1}-x_{c})+2(y_{2}-y_{1})(y_{1}-y_{c})\,}$

${\displaystyle c=x_{c}^{2}+y_{c}^{2}+x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-2(x_{c}x_{1}+y_{c}y_{1})-r^{2}.\,}$

然后，只要解以下方程就能确定直线和圆的交点：

${\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

如果判别式 ${\displaystyle b^{2}-4ac<0}$，那么方程无实数解，圆和直线没有交点；如果辨别式等于0，那么方程有一解，圆和直线相切；如果辨别式大于0，方程有两解，圆和直线有两个交点。令${\displaystyle d_{1}}$ 和 ${\displaystyle d_{2}}$ 是两个交点（如果存在），那么，我们可以得到线段如下：

${\displaystyle m_{1}={\overline {p_{1}d_{1}}}\,}$

${\displaystyle m_{2}={\overline {p_{1}d_{2}}}.\,}$

折痕 ${\displaystyle F_{1}(s)}$ 垂直平分 ${\displaystyle m_{1}}$，可以将 ${\displaystyle p_{1}}$ 折到 ${\displaystyle d_{1}}$。同样，折痕 ${\displaystyle F_{2}(s)}$ 垂直平分 ${\displaystyle m_{2}}$，可以将 ${\displaystyle p_{1}}$ 折到 ${\displaystyle d_{2}}$。只要应用公理2就可以找到垂直平分线。折痕的参数方程是：

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(s)&=p_{1}+{\frac {1}{2}}(d_{1}-p_{1})+s(d_{1}-p_{1})_{\perp }\\[8pt]F_{2}(s)&=p_{1}+{\frac {1}{2}}(d_{2}-p_{1})+s(d_{2}-p_{1})_{\perp }.\end{aligned}}}$

给定两点 ${\displaystyle p_{1}}$ 和 ${\displaystyle p_{2}}$ 和两直线 ${\displaystyle l_{1}}$ 和 ${\displaystyle l_{2}}$，可以一次将 ${\displaystyle p_{1}}$ 、${\displaystyle p_{2}}$ 分别折到 ${\displaystyle l_{1}}$ 、${\displaystyle l_{2}}$ 上。

这个公理相当于找到同时与两条抛物线相切的直线，等价于解一个三次方程。两条抛物线的焦点分别是 ${\displaystyle p_{1}}$ 和 ${\displaystyle p_{2}}$，准线分别是 ${\displaystyle l_{1}}$ 和 ${\displaystyle l_{2}}$。

给定一点 ${\displaystyle p}$ 和两直线 ${\displaystyle l_{1}}$ 和 ${\displaystyle l_{2}}$，可以沿着 ${\displaystyle l_{2}}$ 的垂线将 ${\displaystyle p_{1}}$ 折到 ${\displaystyle l_{1}}$ 上。

过 ${\displaystyle p}$ 点作 ${\displaystyle l_{2}}$ 的平行线，交 ${\displaystyle l_{1}}$ 于 ${\displaystyle q}$，这个公理就是要找出线段 ${\displaystyle {\overline {pq}}}$ 的垂直平分线。沿着这条垂直平分线折，就可以将 ${\displaystyle p}$ 折到 ${\displaystyle q}$ 上。