拉比周期

拉比效應的數學細節請參見拉比問題。 例如，若將电磁场频率调至激发能，並於電磁場當中置入一個雙態原子（該原子之电子可以处于激发态或基态），那麼處於激發態原子之機率可以从Bloch方程得出：

${\displaystyle |c_{b}(t)|^{2}\propto \sin ^{2}(\omega t/2)}$

${\displaystyle \omega }$是拉比频率。

更一般而言，我們可以考虑一種，兩個能階都不是能量本征态的系统 。因此，如果在其中一個能階對系统初始化，则时间演化将使每个能階的總粒子數以某个特征频率振荡，其角频率[1]也称为拉比频率。 該雙態量子系统的状态可以表示为二维希尔伯特空间複向量 ，这意味着每个状态向量 ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$是以標准的复数坐标表示。

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}};}$${\displaystyle c_{1}}$和${\displaystyle c_{2}}$是坐标。[2]

如果向量归一化， ${\displaystyle c_{1}}$和${\displaystyle c_{2}}$的关联為${\displaystyle {|c_{1}|}^{2}+{|c_{2}|}^{2}=1}$ 。 基向量表示为${\displaystyle |0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$和${\displaystyle |1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

所有与该系统相关的可观测物理量均为2 ${\displaystyle \times }$ 2埃尔米特矩阵 ，这表示系统的哈密顿量也是相似矩阵。

可以透過以下步骤建構振荡实验：[3]

1. 准备系统，使之處於固定狀态；例如 ${\displaystyle |1\rangle }$
2. 在哈密顿量H下，讓态隨时间t自由演化
3. 求出狀态为${\displaystyle |1\rangle }$的機率 P(t)

如果${\displaystyle |1\rangle }$是H的本征态且P(t)=1 ，那麼就不会產生振荡。此外，如果两個態${\displaystyle |0\rangle }$和${\displaystyle |1\rangle }$皆為簡併態，那麼包括${\displaystyle |1\rangle }$在內的所有态皆為H的本征态。因此也不会產生振荡。

另一方面，若H無简并本征态，且初态不是本征态，则振荡将會產生。 雙態系統哈密頓量的最一般形式給定如下

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}a_{0}+a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&a_{0}-a_{3}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}}$和${\displaystyle a_{3}}$是实数。 这个矩阵可以分解为

${\displaystyle \mathbf {H} =a_{0}\cdot \sigma _{0}+a_{1}\cdot \sigma _{1}+a_{2}\cdot \sigma _{2}+a_{3}\cdot \sigma _{3};}$

${\displaystyle \sigma _{0}}$是2 ${\displaystyle \times }$ 2單位矩陣，${\displaystyle \sigma _{k}\;(k=1,2,3)}$是泡利矩陣 。 尤其是在与时间无关的情况下，这种分解能夠简化系统分析，其中${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}}$和${\displaystyle a_{3}}$是常数。考虑置於磁场${\displaystyle \mathbf {B} =B\mathbf {\hat {z}} }$ 之中的自旋1/2粒子。该系统的交互作用能量算符为

${\displaystyle \mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\gamma \mathbf {S} \cdot \mathbf {B} =-\gamma \ B\ S_{z}}$ ， ${\displaystyle S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\,\sigma _{3}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mu }$是粒子磁矩的大小， ${\displaystyle \gamma }$是旋磁比 ，${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$是泡利矩陣之向量。此處哈密顿量之本征态是${\displaystyle \sigma _{3}}$，而${\displaystyle |1\rangle }$和${\displaystyle |2\rangle }$具有对应的本徵值${\displaystyle E_{+}={\frac {\hbar }{2}}\gamma B\,\ E_{-}=-{\frac {\hbar }{2}}\gamma B}$ 。 我們可以在系统处于状态${\displaystyle |\psi \rangle }$下，給出找到任意状态${\displaystyle |\phi \rangle }$之機率${\displaystyle {|\langle \phi |\psi \rangle |}^{2}}$。在${\displaystyle t=0}$的時刻，让系统处于准备状态${\displaystyle \left|+X\right\rangle }$ 。 注意到${\displaystyle \left|+X\right\rangle }$是${\displaystyle \sigma _{1}}$的本征态 ：

${\displaystyle |\psi (0)\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

此處的哈密顿量与时间无关。 因此，透過求解平稳的薛丁格方程，在經過时间t之后，狀態演變為${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\exp \left[{\frac {-i\mathbf {H} t}{\hbar }}\right]\left|\psi (0)\right\rangle ={\begin{pmatrix}\exp \left[{\tfrac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]&0\\0&\exp \left[{\tfrac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\end{pmatrix}}|\psi (0)\rangle }$ ，帶有系统总能量${\displaystyle E}$ 。 因此經過时间t之后，状态成为：

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle }$

现在假设在t時刻，對x方向上的自旋進行测量。 下式给出測量到自旋向上的機率：

${\displaystyle {\left|\langle +X|\psi (t)\rangle \right|}^{2}={\left|{\frac {\left\langle 0\right|+\left\langle 1\right|}{\sqrt {2}}}\left({{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]\left|0\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\left|1\right\rangle }\right)\right|}^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\omega t}{2}}\right),}$

${\displaystyle \omega }$是特徵角频率，假设${\displaystyle E_{-}\geq E_{+}}$的情形，給定${\displaystyle \omega ={\frac {E_{-}-E_{+}}{\hbar }}=\gamma B}$ 。 [4] 在这种情况下，当系统最初自旋是在${\displaystyle \left|+X\right\rangle }$方向，那麼x方向发现自旋向上的機率會随著时间${\displaystyle t}$而振盪。 同样，如果我们测量${\displaystyle \left|+Z\right\rangle }$方向，那麼所测量到的系统自旋为${\displaystyle {\tfrac {\hbar }{2}}}$之機率為${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ 。在${\displaystyle E_{+}=E_{-}}$簡併情形下 ，特征频率為0，無振盪發生。

留意到，如果系统处于给定哈密顿量的本征态，则系统将維持在该状态，保持不變。

這同樣也適用於时间相依的哈密顿函数。 以${\textstyle {\hat {H}}=-\gamma \ S_{z}B\sin(\omega t)}$ 為例；如果系统的初始自旋状态为${\displaystyle \left|+Y\right\rangle }$ ，那麼在${\displaystyle t}$時刻，自旋在y方向测量结果為${\displaystyle +{\tfrac {\hbar }{2}}}$之機率為${\textstyle {\left|\left\langle \,+Y|\psi (t)\right\rangle \right|}^{2}\,=\cos ^{2}\left({\frac {\gamma B}{2\omega }}\cos \left({\omega t}\right)\right)}$ 。[5]

電離氫分子兩態間的拉比振盪。

電離氫分子是由兩個質子${\displaystyle P_{1}}$、${\displaystyle P_{2}}$和一個電子所組成。由於質子質量較大，因此這兩個質子可以被視為固定不動的。設R為質子之間的距離，而 ${\displaystyle |1\rangle }$和${\displaystyle |2\rangle }$兩個態的電子所處之位置，約坐落在${\displaystyle P_{1}}$或${\displaystyle P_{2}}$附近。假設在某一時刻，電子位於質子${\displaystyle P_{1}}$附近。根據前一節的結果，我們知道它將在兩個質子之間振盪，而振盪頻率等於與兩個分子定態${\displaystyle |E_{+}\rangle }$和${\displaystyle |E_{-}\rangle }$有關的玻爾頻率。這種在兩個態之間的電子振盪，對應於分子電偶極矩平均值的振盪。因此，當分子不處於定態時，就能夠產生一個振盪的電偶極矩。這種振盪偶極矩可以與同頻率的電磁波交換能量。因此，這個頻率必須出現在電離氫分子的吸收光譜和發射光譜中。

考虑以下形式的哈密顿量

${\displaystyle {\hat {H}}=E_{0}\cdot \sigma _{0}+W_{1}\cdot \sigma _{1}+W_{2}\cdot \sigma _{2}+\Delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}.}$

該矩陣的特徵值為

${\displaystyle \lambda _{+}=E_{+}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}$ ，${\displaystyle \lambda _{-}=E_{-}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}$。

此處${\displaystyle \mathbf {W} =W_{1}+\imath W_{2}}$， ${\displaystyle {\left\vert W\right\vert }^{2}={W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}=WW^{*}}$。因此我們可以取 ${\displaystyle \mathbf {W} ={\left\vert W\right\vert }e^{\imath \phi }}$。

現在，由方程式 :${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}=E_{+}{\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}}$，我們可以得到${\displaystyle E_{+}}$的特徵向量。

因此， ${\displaystyle b=-{\frac {a\left(E_{0}+\Delta -E_{+}\right)}{W_{1}-iW_{2}}}}$。

對特徵向量採用歸一化條件${\displaystyle {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert b\right\vert }^{2}=1}$。

因此 ${\displaystyle {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}\left({\frac {\Delta }{\left\vert W\right\vert }}-{\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\left\vert W\right\vert }}\right)^{2}=1}$。

令 ${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}}$，${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\Delta }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}}$。所以${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\Delta }}}$。

我們得到 ${\displaystyle {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}{\frac {({1-\cos \theta })^{2}}{\sin ^{2}\theta }}=1}$，即 ${\displaystyle {\left\vert a\right\vert }^{2}=\cos ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right)}$。取任意相角${\displaystyle \phi }$，我們可以寫下 ${\displaystyle a=\exp(\imath \phi /2)\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)}$. 同理可證，${\displaystyle b=\exp(-\imath \phi /2)\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)}$。

所以特徵值${\displaystyle E_{+}}$之特徵向量為${\displaystyle \left|E_{+}\right\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \left(\theta /2\right)\\e^{\imath \phi }\sin \left(\theta /2\right)\end{pmatrix}}}$。

由於總相角較無關緊要，我們可以寫下 ${\displaystyle \left|E_{+}\right\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\\e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\end{pmatrix}}=\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle +e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle }$。

類似地, 特徵能量${\displaystyle E_{-}}$之特徵向量為 ${\displaystyle \left|E_{-}\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle -e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle }$。

從這兩個方程，我們可以寫出

${\displaystyle \left|0\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle }$

${\displaystyle \left|1\right\rangle =e^{-\imath \phi }\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle -e^{-\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle }$。

假設系統開始時在時刻 ${\textstyle t=0}$的狀態是${\displaystyle |0\rangle }$，也就是說，${\displaystyle \left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\left|0\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle }$。經過時間t之後，狀態演變為

${\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle =e^{\frac {-i{\hat {H}}t}{\hbar }}\left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\left|E_{-}\right\rangle }$。

如果系統處於${\displaystyle |E_{+}\rangle }$ 或 ${\displaystyle |E_{-}\rangle }$之中的某一個本徵態，那麼它將會維持在同一個本徵態。然而，對於如上所示的一般初始狀態而言，時間演化並不顯然。

系統在時刻t處於狀態${\displaystyle |1\rangle }$的機率幅為 ${\textstyle \left\langle \ 1|\psi (t)\right\rangle =e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)}$。

系統當前處於${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$，而之後處於任意態 ${\displaystyle |1\rangle }$的機率為

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0\to 1}(t)&={|\langle \ 1|\psi (t)\rangle |}^{2}\\&=e^{-\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {+\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {+\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)e^{+\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)\\&={\frac {\sin ^{2}{\theta }}{4}}\left(2-2\cos \left({\frac {\left(E_{+}-E_{-}\right)t}{\hbar }}\right)\right)\end{aligned}}}$

這可以簡化為

${\displaystyle P_{0\to 1}(t)=\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)={\frac {{\left\vert W\right\vert }^{2}}{{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)}$.........(1)

這表明， 當系統最初處於狀態${\displaystyle |0\rangle }$時，該系統最終處於狀態${\displaystyle |1\rangle }$的機率是有限的。機率是以角頻率 ${\displaystyle \omega ={\frac {E_{+}-E_{-}}{2\hbar }}={\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\hbar }}}$振盪，而${\displaystyle \omega }$是系統唯一的玻爾頻率，又稱為拉比频率。而式子(1)亦可稱為拉比公式。在時間t之後，系統處於狀態${\displaystyle |0\rangle }$的機率為${\displaystyle {|\langle \ 0|\psi (t)\rangle |}^{2}=1-\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)}$，同樣也是振盪形式。

這些二能階系統的振盪稱為拉比振盪，在許多問題之中都會發生這種振盪，如中微子振荡、電離氫分子、量子计算、氨邁射等等。

任何双态量子系统都可以用来模拟量子位元。現在考虑一个自旋${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$系统，將磁矩${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$置于经典磁场${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=B_{0}\ {\hat {z}}+B_{1}\left(\cos {(\omega t)}\ {\hat {x}}-\sin {(\omega t)}\ {\hat {y}}\right)}$之中。令系统旋磁比${\displaystyle \gamma }$，因此磁矩${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {\hbar }{2}}\gamma {\boldsymbol {\sigma }}}$，可以給出该系统的哈密顿量${\displaystyle \mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{0}\sigma _{z}-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{1}(\sigma _{x}\cos \omega t-\sigma _{y}\sin \omega t)}$，此處${\displaystyle \omega _{0}=\gamma B_{0}}$，${\displaystyle \omega _{1}=\gamma B_{1}}$。

透過上述步骤，我們可以求得哈密顿量的特征值和特征向量。现在，让量子位元在${\displaystyle t=0}$時刻處於量子態${\displaystyle |0\rangle }$，那么，在${\displaystyle t}$时刻，量子位元处于量子態${\displaystyle |1\rangle }$的機率為${\displaystyle P_{0\to 1}(t)=\left({\frac {\omega _{1}}{\Omega }}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)}$${\displaystyle \Omega ={\sqrt {(\omega -\omega _{0})^{2}+\omega _{1}^{2}}}}$，这种现象就稱作拉比振盪。因此，量子位元會在量子態${\displaystyle |0\rangle }$和${\displaystyle |1\rangle }$之间振荡。振盪的振幅會在${\displaystyle \omega =\omega _{0}}$達到最大，而这即為共振条件。共振时的跃迁機率為${\displaystyle P_{0\to 1}(t)=\sin ^{2}\left({\frac {\omega _{1}t}{2}}\right)}$，要从一個量子態${\displaystyle |0\rangle }$跃迁到另一個量子態${\displaystyle |1\rangle }$，只需调整旋转场作用的时间${\displaystyle t}$滿足${\displaystyle {\frac {\omega _{1}t}{2}}={\frac {\pi }{2}}}$或是${\displaystyle t={\frac {\pi }{\omega _{1}}}}$就充分了，这叫做「${\displaystyle \pi }$脈衝」。如果选择的时间介于0和${\displaystyle {\frac {\pi }{\omega _{1}}}}$之间，我们會得到${\displaystyle |0\rangle }$和${\displaystyle |1\rangle }$的疊加態。尤其是當${\displaystyle t={\frac {\pi }{2\omega _{1}}}}$的時候，我们會得到一個「${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$脈衝」，它的作用是造成${\displaystyle |0\rangle \to {\frac {|0\rangle +i|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$量子態躍遷，而這個操作在量子計算中起到至關重要的作用。当对激光场中的二能階原子进行大致满意的旋转波近似时，方程基本上是相同的。然后两个原子能階之间的能量差${\displaystyle \hbar \omega _{0}}$(${\displaystyle \omega }$是激光波的频率)及拉比频率${\displaystyle \omega _{1}}$，与原子的跃迁电偶极矩${\displaystyle {\vec {d}}}$与激光波电场${\displaystyle {\vec {E}}}$的乘积成正比，也就是${\displaystyle \omega _{1}\propto \hbar \ {\vec {d}}\cdot {\vec {E}}}$。總而言之，拉比振盪是用於操縱量子位元的基本過程，而這個振盪是在適當調整的時間間隔內，藉由將量子位元暴露在周期性的電場或磁場中來獲得[6]。

• 原子相干性
• 布洛赫球面
• 雷射激升
• 光激升
• 拉比頻率
• 拉比問題
• 真空拉比振盪

• https://web.archive.org/web/20110719095612/http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/zweiniveau/parameter/en/

A Java applet that visualizes Rabi Cycles of two-state systems (laser driven).

• https://web.archive.org/web/20110719095819/http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/elektron-phonon-wechselwirkung/parameter/en/

extended version of the applet. Includes electron phonon interaction.

1. . [2020-04-28]. （原始内容存档于2020-05-08）.
2. Griffiths, David. 2nd. 2005: 341.
3. Sourendu Gupta. (PDF). Tata Institute of Fundamental Research. 27 August 2013 [2020-04-28]. （原始内容存档 (PDF)于2019-07-16）.
4. Griffiths, David (2012). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) p. 191.
5. Griffiths, David (2012). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) p. 196 ISBN 978-8177582307
6. A Short Introduction to Quantum Information and Quantum Computation by Michel Le Bellac, ISBN 978-0521860567