泡利矩陣

這些矩陣是對合的：

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}=I}$

其中I是單位矩陣。

此外，包立矩陣的行列式和它們的跡分別為：

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\sigma _{i})&=-1\\\operatorname {tr} (\sigma _{i})&=0\end{aligned}}}$

故從上述關係可以推得每個包立矩陣σ_i的本徵值分別為±1。

每個包立矩陣有兩個本徵值，+1和−1，其對應的歸一化本徵向量為：

${\displaystyle {\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{bmatrix}{1}\\{1}\end{bmatrix}}&\psi _{x-}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{bmatrix}{1}\\{-1}\end{bmatrix}}\\\psi _{y+}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{bmatrix}{1}\\{i}\end{bmatrix}}&\psi _{y-}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{bmatrix}{1}\\{-i}\end{bmatrix}}\\\psi _{z+}=&{\begin{bmatrix}{1}\\{0}\end{bmatrix}}&\psi _{z-}=&{\begin{bmatrix}{0}\\{1}\end{bmatrix}}\end{array}}}$

包立向量定義為：

${\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}\,}$

這個定義提供了將一般向量基底對應到包立矩陣的基底的機制

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=(a_{i}{\hat {x}}_{i})\cdot (\sigma _{j}{\hat {x}}_{j})\\&=a_{i}\sigma _{j}{\hat {x}}_{i}\cdot {\hat {x}}_{j}\\&=a_{i}\sigma _{j}\delta _{ij}\\&=a_{i}\sigma _{i}\end{aligned}}}$

相同的下標是使用了愛因斯坦求和約定。此外：

${\displaystyle \det {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}=-{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=-|{\vec {a}}|^{2}}$。

包立矩陣有以下的對易關係：

${\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}\,,}$

以及以下的反對易關係。

${\displaystyle \{\sigma _{a},\sigma _{b}\}=2\delta _{ab}\,I}$。

其中ε_abc是列維-奇維塔符號，δ_ab是克羅內克函數，是I是2 ×2的單位矩陣。而一樣的，上面使用了愛因斯坦求和約定。

將包立矩陣的對易和反對易相加得：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]+\{\sigma _{a},\sigma _{b}\}&=(\sigma _{a}\sigma _{b}-\sigma _{b}\sigma _{a})+(\sigma _{a}\sigma _{b}+\sigma _{b}\sigma _{a})\\2i\sum _{c}\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}+2\delta _{ab}I&=2\sigma _{a}\sigma _{b}\end{aligned}}}$

因此可得：

${\displaystyle \sigma _{a}\sigma _{b}=i\sum _{c}\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}+\delta _{ab}I}$

為了避免符號重複，將a, b, c改成p, q, r，然後把上式和三維向量a_p和b_q內積，可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{p}b_{q}\sigma _{p}\sigma _{q}&=a_{p}b_{q}\left(i\sum _{r}\varepsilon _{pqr}\,\sigma _{r}+\delta _{pq}I\right)\\a_{p}\sigma _{p}b_{q}\sigma _{q}&=i\sum _{r}\varepsilon _{pqr}\,a_{p}b_{q}\sigma _{r}+a_{p}b_{q}\delta _{pq}I\end{aligned}}}$

將它轉換成向量積的表達式：

${\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,I+i({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {\sigma }}}$

令${\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {n}}}$，而且${\displaystyle |{\hat {n}}|=1}$對於偶數n可得：

${\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n}=I\,}$

另外加上之前求得在n = 1的情況可在n為奇數的情況：

${\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\,}$

利用矩陣指數的概念，加上正弦和餘弦的泰勒級數展開式，可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}\left[a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\right]^{n}}{n!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n}}{(2n)!}}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&=I\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{(2n)!}}+i{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n+1}}{(2n+1)!}}\right)\\\end{aligned}}}$

第一項的總和為${\displaystyle \cos {a}}$，第二項括號裡的總和是${\displaystyle \sin {a}}$，於是：

${\displaystyle e^{ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}=I\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a}\,}$

(2)

這可以看做是歐拉公式的類比。

另一個常用來區別包立矩陣的方法是用上標i，用不同的i來代表不同的包立矩陣，而下標則代表不同的矩陣元素。因此第i個包立矩陣的第α行第β列的元素可表示為σ ⁱ_αβ

利用這種表示方法，包立矩陣的完備性關係可寫作：

${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma }}_{\gamma \delta }\equiv \sum _{i=1}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{i}\sigma _{\gamma \delta }^{i}=2\delta _{\alpha \delta }\delta _{\beta \gamma }-\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \delta }\ }$

有時習慣上將2×2單位舉寫成σ₀，也就是，σ⁰_αβ = δ_αβ。如此一來完備性關係可以更為簡潔的表示成：

${\displaystyle \sum _{i=0}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{i}\sigma _{\gamma \delta }^{i}=2\delta _{\alpha \delta }\delta _{\beta \gamma }\,}$

令算符P_ij為換位算符（或稱為置換算符）。對於兩個在張量積空間ℂ² ⊗ ℂ²中的自旋σ_i和σ_j該算符有：

${\displaystyle P_{ij}|\sigma _{i}\sigma _{j}\rangle =|\sigma _{j}\sigma _{i}\rangle \,}$

的關係。這個算符可以更進一步的用包立矩陣來表示：

${\displaystyle P_{ij}={\tfrac {1}{2}}({\vec {\sigma }}_{i}\cdot {\vec {\sigma }}_{j}+1)\,}$

該算符有兩個本徵值，分別1和-1，這個算符可以用於代表某些哈密頓量的交互作用項，產生對稱和反對稱的本徵態分裂的效果。

{I, iσ₁, iσ₂, iσ₃}的實數張成與四元數ℍ的實代數同構，可透過下列映射得到對應關係（注意到包立矩陣的負號）：

${\displaystyle 1\mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}.}$

另外一種方式的映射為將包立矩陣的次序反轉[2]

${\displaystyle 1\mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\sigma _{3},\quad \mathbf {j} \mapsto i\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto i\sigma _{1}.}$

既然單位四元數與SU(2)為群同構，此亦代表包立矩陣也可用來描述SU(2)。從SU(2)到SO(3)的2對1同態性，也可以用包立矩陣來表述。

四元數構成可除代數——所有非零元素皆有反元素，然而包立矩陣並非如此。包立矩陣生成的代數的四元數版，參見複四元數，其共有8個實維度。

• Liboff, Richard L. . Addison-Wesley. 2002. ISBN 0-8053-8714-5.
• Schiff, Leonard I. . McGraw-Hill. 1968. ISBN 978-0070552876.
• Leonhardt, Ulf. . Cambridge University Press. 2010. ISBN 0-521-14505-8.