整除规则

• 0：所有非0的整數之倍數。
• ±1：所有整數之因數。

2和5都是10的因数，在十进制判別是否有${\displaystyle 2^{k}}$或${\displaystyle 5^{k}}$的因數只須取其最後k位，除以${\displaystyle 2^{k}}$或${\displaystyle 5^{k}}$，可除盡即是：

• ±2：所有偶數（0、2、4、6、8結尾）皆有此因數。如2、−6、989896、11111112、−454
• ±4：最後兩位數可以被4除盡，即是。如9898989898540→40/4＝10
• ±8：若最後三位數可以被8除盡，即是。如8000、1256000、95872
• ±5：查看最後一位數。如果可以被5除盡（為0或5），即是。如5454545、45454500、50
• ±10：看最後一位數為0（即末两位为10的整倍数）即是。如530、73500、50
• ±${\displaystyle 2^{n}}$：最後n位數可以被${\displaystyle 2^{n}}$除盡。
• ±${\displaystyle 5^{n}}$：最後n位數可以被${\displaystyle 5^{n}}$除盡。
• ±${\displaystyle 10^{n}}$：最後n位數字都全部是0。

上面的性质亦可推广到求余数：
${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{k-1}10^{r}a_{r}{\pmod {2^{k}}}}$
${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{k-1}10^{r}a_{r}{\pmod {5^{k}}}}$
${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{k-1}10^{r}a_{r}{\pmod {10^{k}}}}$

甚至非十进制下也是一样。例如十二进制：2、3、4、6都是12的因数，故某数的末k位除以${\displaystyle 2^{k}}$、${\displaystyle 3^{k}}$、${\displaystyle 4^{k}}$、${\displaystyle 6^{k}}$，所得余数与原数同余。

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\pmod {3}}}$

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\pmod {9}}}$

• ±3：所有位數加起來為3的倍數，即是。如69255：（6＋9＋2＋5＋5）/3＝27/3＝9
• ±9：所有位數加起來為9的倍數，即是。如69255：（6＋9＋2＋5＋5）/9＝27/9＝3

注意到我们现在是在十进制运算，而9＝10－1。对于任意${\displaystyle p}$进制的非负整数除法，当除数是${\displaystyle p-1}$时被除数中所有数字相加的和仍与该被除数同余。
证明：

1. 如被除数为零，命题是平凡。
2. 在任何${\displaystyle p}$进制，首先考虑仅有最高位数字非零、其余位均是零的正数，该数可写成${\displaystyle dp^{i}}$，其中${\displaystyle d}$是最高位（第${\displaystyle i}$位）数字、${\displaystyle 1\leq d\leq p-1}$，而${\displaystyle p^{i}}$表示后面有${\displaystyle i}$个零。（${\displaystyle p}$进制逢${\displaystyle p}$进一，${\displaystyle p}$的${\displaystyle i}$次方自然是1后面${\displaystyle i}$个零。）
3. 那么${\textstyle dp^{i}=dp^{i-1}p}$，除以${\textstyle p-1}$得${\textstyle {\frac {dp^{i-1}p}{p-1}}={\frac {dp^{i-1}(p-1)+dp^{i-1}}{p-1}}}$，前项显然整除，故${\textstyle dp^{i}=dp^{i-1}(p-1)+dp^{i-1}\equiv dp^{i-1}{\pmod {p-1}}}$，推论得${\textstyle dp^{i}\equiv dp^{0}=d{\pmod {p-1}}}$。
   
4. 而任何${\displaystyle p}$进制正整数均可写成${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}d_{i}p^{i}}$的形式，根据上面的结果，这个和（即是该数本身）显然与所有数字之和${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}d_{i}}$同余。证毕。

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}a_{r}{\pmod {11}}}$

• ±11：將其奇數位之和及偶數位之和相減，如果是0、11等11的倍數，即是。如19866→1＋8＋6－（9＋6）＝0

• ±7，±11，±13：设正整数${\displaystyle a=\sum _{r=0}^{n}1000^{r}a_{r}}$，${\displaystyle 1001=7\times 11\times 13}$，所以

${\displaystyle a\equiv \sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}a_{r}{\pmod {7}},a\equiv \sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}a_{r}{\pmod {13}}}$

若a＝75312289，则a=75×1000²＋312×1000＋289，289－312＋75＝52，a能被13整除，不能被7和11整除。[1]

若某整數能整除某合數則某整數必同時整除所有某合數的質因數。

• ±6：同時符合±2（末位是0、2、4、6、8）和±3（相加可除盡）的條件（6＝2×3），如66、7986252、99999996
• ±12：同時符合±4和±3（相加可除盡）的條件（12＝${\displaystyle 2^{2}}$×3），如60

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv a_{0}+10\sum _{r=1}^{n}10^{r-1}a_{r}{\pmod {k}}}$

• ±7：将个位前的数字乘以3再与个位数相加，得出7的倍数即7的倍数。如154→49→21→7
• ±13：将个位前的数字乘以3再与个位数相减，得出13的倍数即13的倍数。如156→39→0

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv a_{0}+10a_{1}+100\sum _{r=2}^{n}10^{r-2}a_{r}{\pmod {k}}}$

• ±23：将十位前的数字乘以15再与末兩位数相减，得出23的倍数即23的倍数。如207→23
• ±31：将十位前的数字乘以7再与末兩位数相加，得出31的倍数即31的倍数。如155→62
• ±37：将十位前的数字乘以11再与末兩位数相减，得出37的倍数即37的倍数。如333→0

若${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv 0{\pmod {k}}}$，且${\displaystyle 10x\equiv 1{\pmod {k}}}$

則${\displaystyle a_{0}+10\sum _{r=1}^{n}10^{r-1}a_{r}\equiv xa_{0}+\sum _{r=1}^{n}10^{r-1}a_{r}\equiv 0{\pmod {k}}}$

• ±7：将个位数乘以2再与个位前的数字相減，得出7的倍数即7的倍数。如154→7
• ±19：将个位数乘以2再与个位前的数字相加，得出19的倍数即19的倍数。如152→19

• 除法、短除法
• 因数
• 同余