施莱夫利符号

星形正多邊形指的是正非凸多邊形，即邊長相等的凹多邊形或複雜多邊形。星形正多邊形的施萊夫利符號若為{^p/_q}，表示此一星形多邊形有p個角，每個角和间隔第q个角相連。因此${\displaystyle \{^{5}/_{2}\}}$即代表的是正五芒星。

當p和q不互質時，此時的正星形多邊形即稱為正星芒形（star figure）。若p跟q的最大公因數為n，此一正星芒形即是由n個${\displaystyle \{^{^{p}/_{n}}/_{^{q}/_{n}}\}}$相互旋繞而成。例如，${\displaystyle \{6/2\}}$，即正六角星，便是由兩個正三角形${\displaystyle \{3/1\}}$所組成的，而${\displaystyle \{10/4\}}$則是由兩個正五角星所組成。

四维正多胞体的施莱夫利符号记做{p,q,r},其中{p}为二维面，{p,q}为胞，{q,r}为顶点图，{r}为棱图。 四维凸正多胞体共有6种，另有一个三维空间欧氏正堆砌（honeycomb），它们的施莱夫利符号如下：

• 正五胞體：{3,3,3}
• 正八胞體：{4,3,3}
• 正十六胞體：{3,3,4}
• 正二十四胞體：{3,4,3}
• 正一百二十胞體：{5,3,3}
• 正六百胞體：{3,3,5}
• 正六面體堆砌：{4,3,4}

在五维及以上空间中只存在三种凸正多胞形，并且五維及以上空間只有一种欧氏正堆砌，其中单纯形（正n+1胞體）的施莱夫利符号为{3,3,3,...,3,3,3}（共n-1个3），超方形（正2n胞體）的施莱夫利符号为{4,3,3,...,3,3,3}（共n-2个3），正轴形（正2ⁿ胞體）的施莱夫利符号为{3,3,3,...,3,3,4}（共n-2个3），超立方体堆砌的施莱夫利符号为: {4,3,3,...,3,3,4}（中间共n-3个3）。此外，存在三个四维空間欧氏正堆砌，分别是正八胞体堆砌:{4,3,3,4}，正十六胞体堆砌:{3,3,4,3}和正二十四胞体堆砌:{3,4,3,3}。