複雜多邊形

複雜多邊形是指多邊形的一種分類。指具有邊自我相交或者有破洞的多邊形，或者說其邊除了相鄰邊在頂點處相交之外，也存在其他互相相交的邊。這個概念與簡單多邊形相對。複雜多邊形的英語為Complex polygon，這個詞彙則有多種的定義，一種是上述複雜多邊形的定義，另一種是位於複數空間的複多邊形[註 1]。

具有自我相交邊界的複雜五邊形，是複雜多邊形的一個例子

複雜多邊形這個概念常用於計算機科學中，因為複雜多邊形的填色相較於簡單多邊形複雜得多，需要使用特殊的演算法才能完成對複雜多邊形的內部上色。

在複雜多邊形中，自相交偶數次的部份算做多邊形的外部，[1]以五角星為例，五角星中央交出的五邊形不算做五角星的內部，換句話說，即是此複雜多邊形的孔洞。[2]

定義

在數學上，複雜多邊形定義為具有邊自我相交或者有破洞的多邊形。而在計算機科學中，定義稍有不同。在計算機科學中，複雜多邊形除了邊自我相交外，還代表著該多邊形可能由多個封閉的邊界組成的多邊形，其中一個邊界會形成該多邊形主要邊界的孔洞。[2]

除此之外，在計算機科學中的複雜多邊形也會考慮邊自我相交的情況[1]，此時對於這個多邊形頂點數的計算，僅會計算邊的端點，不會計算邊與邊相交所產生的頂點。

性質

涉及到有界區域的積分和閉合線積分的公式在複雜多邊形區域「由內而外」部分以次數計算內外部時（最內部為實際上的內部，向外遇到一個邊界時視為外部，再遇到一個邊界時視為內部以此類推）仍然適用。

複雜多邊形的孔洞可以來自自相交所形成的區域，[3]也可以來自位於最外周界內部的邊界或子多邊形。位於主要邊界內部的較小作為孔洞的子簡單多邊形邊界，其內角等同於整個複雜多邊形的外角，其360度減內角的值才是整個複雜多邊形的內角，所以位於複雜多邊形主要邊界內部的較小簡單多邊形的內角（對於整個複雜多邊形而言）通常是優角。

在複雜多邊形周圍移動時，頂點處轉向的總量可以是360度（ $2π$ ）的任意整數倍，例如五角星頂點處轉向的總量為720度，而有角度的「8」頂點處轉向的總量為0度。

複合多邊形

複合多邊形是指由多個單獨封閉的相連線段（子多邊形）所組成的多邊形，例如六角星由兩個獨立的三角形組合而成。[4]複合多邊形都是複雜多邊形，若組合的方式是一個大多邊形包含一個小多邊形，即大多邊形內部有一個較小的多邊形（例如回字形），則內部多邊形視為整個複合多邊形的孔洞，也就是一個有「破洞」的多邊形。

推廣

複雜多面體

四面半六面體是一種複雜多面體

複雜多邊形的概念也可以推廣到三維空間中。對應的概念是複雜多面體。複雜多面體代表存在面有自我相交情形的多面體。[5]所有複雜多面體都是非凸多面體。星形正多面體都是複雜多面體。與複雜多面體相對的概念是簡單多面體。

參見

註釋

此處的complex polygon中，complex代表複數（Complex Number、 $a+bi$ ），因此稱為複多邊形或複數空間多邊形（簡稱複數多邊形）。然而在计算机图形学中，也有一個稱為complex polygon的概念，但是在這種情況下，complex並不意味著「複數域上的結構」，因此不會將其稱為複多邊形。一般數學或幾何學也有這種概念，尤其在討論多邊形是否存在自相交的情況，在這種情況下complex polygon應被稱為複雜多邊形，這意味著該多邊形存在著自相交的情況，即simple（非簡單閉合曲線），因此稱為complex（意味著複雜或不簡單）。而又有一類多邊形稱為複合多邊形，其表示多個多邊形組成的複合圖形，其名稱不應與複多邊形和複雜多邊形混淆。

參考文獻

Paul Bourke. . 1997 [2016-05]. （原始内容存档于2019-12-31）.
Rae Earnshaw, Brian Wyvill (Ed); New Advances in Computer Graphics: Proceedings of CG International ’89, Springer, 2012, page 654.
Galetzka, Michael and Glauner, Patrick O. (PDF). arXiv preprint arXiv:1207.3502. 2012 [2023-11-18]. （原始内容存档 (PDF)于2023-10-17）.
Inchbald, Guy. . Complex Symmetries (Springer). 2021: 57–70.
Nejur, Andrei and Akbarzadeh, Masoud. . Proceedings of IASS Annual Symposia (International Association for Shell and Spatial Structures (IASS)). 2018, 2018 (16): 1–8.

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[1] 此處的complex polygon中，complex代表複數（Complex Number、 $a+bi$ ），因此稱為複多邊形或複數空間多邊形（簡稱複數多邊形）。然而在计算机图形学中，也有一個稱為complex polygon的概念，但是在這種情況下，complex並不意味著「複數域上的結構」，因此不會將其稱為複多邊形。一般數學或幾何學也有這種概念，尤其在討論多邊形是否存在自相交的情況，在這種情況下complex polygon應被稱為複雜多邊形，這意味著該多邊形存在著自相交的情況，即simple（非簡單閉合曲線），因此稱為complex（意味著複雜或不簡單）。而又有一類多邊形稱為複合多邊形，其表示多個多邊形組成的複合圖形，其名稱不應與複多邊形和複雜多邊形混淆。

[Paul_Bourke_1997-2] Paul Bourke. . 1997 [2016-05]. （原始内容存档于2019-12-31）.

[Rae_Earnshaw,_Brian_Wyvill_2012-3] Rae Earnshaw, Brian Wyvill (Ed); New Advances in Computer Graphics: Proceedings of CG International ’89, Springer, 2012, page 654.

[article_galetzka2012simple-4] Galetzka, Michael and Glauner, Patrick O. (PDF). arXiv preprint arXiv:1207.3502. 2012 [2023-11-18]. （原始内容存档 (PDF)于2023-10-17）.

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[inproceedings_nejur2018constrained-6] Nejur, Andrei and Akbarzadeh, Masoud. . Proceedings of IASS Annual Symposia (International Association for Shell and Spatial Structures (IASS)). 2018, 2018 (16): 1–8.