路德维希·施莱夫利

施萊夫利是多維幾何的奠基者之一，另兩位是凱萊及黎曼。大約在1850年時，歐幾里得空間的一般概念尚未發展完全，但是多元線性方程已被清楚認識。在1840年左右，哈密頓發現了四元數，John Thomas Graves與凱萊則發現了八元數，這兩個系統分別由四個元素及八個元素組成，提供了三維空間笛卡兒坐標系一個新的詮釋。

在1850年至1852年間，施萊夫利正著力於他的巨著「Theorie der vielfachen Kontinuität（多重連續體理論）」，開始了多維空間線性幾何的研究。他同時也定義了多維球且計算了其體積。施萊夫利將手稿寄至Vienna的Akademie想將其付梓，但因份量過多而被拒絕，他又把稿件寄至柏林，也因同樣理由被拒。在經過一段官僚導致的停滯後，於1854年施萊夫利被要求寫一個較短的版本，但可想而知地施萊夫利拒絕了。施泰納嘗試幫施萊夫利將結果發表在Crelle's journal，卻也沒有成功，確切的原因不明。1860年，部分成果被凱萊以英文發表。1901年，全部手稿在施萊夫利死後第一次出版，Pieter Hendrik Schoute隨後在1904年於數學期刊Nieuw Archief voor de Wiskunde寫下了評論。

而在1854年，黎曼舉辦了他的著名資格演講「Habilitationsvortrag Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen（論作為幾何基礎的假設）」，引入了多維流形的概念，高維空間的概念也開始蓬勃發展。

以下節錄自「Theorie der vielfachen Kontinuität（多重連續體理論）」的序：

Die Abhandlung, die ich hier der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften vorzulegen die Ehre habe, enthält einen Versuch, einen neuen Zweig der Analysis zu begründen und zu bearbeiten, welcher, gleichsam eine analytische Geometrie von ${\displaystyle n}$ Dimensionen, diejenigen der Ebene und des Raumes als spezielle Fälle fuer ${\displaystyle n=2,3}$ in sich enthielte. Ich nenne denselben Theorie der vielfachen Kontinuität überhaupt in demselben Sinne, wie man zum Beispiel die Geometrie des Raumes eine Theorie der dreifachen Kontinuität nennen kann. Wie in dieser eine Gruppe von Werten der drei Koordinaten einen Punkt bestimmt, so soll in jener eine Gruppe gegebener Werte der ${\displaystyle n}$ Variabeln ${\displaystyle x,y,\ldots }$ eine Lösung bestimmen. Ich gebrauche diesen Ausdruck, weil man bei einer oder mehreren Gleichungen mit vielen Variabeln jede genügende Gruppe von Werten auch so nennt; das Ungewöhnliche der Benennung liegt nur darin, daß ich sie auch noch beibehalte, wenn gar keine Gleichung zwischen den Variabeln gegeben ist. In diesem Falle nenne ich die Gesamtheit aller Lösungen die ${\displaystyle n}$-fache Totalität; sind hingegen ${\displaystyle 1,2,3,\ldots }$ Gleichungen gegeben, so heißt bzw. die Gesamtheit ihrer Lösungen ${\displaystyle n-1}$-faches, ${\displaystyle n-2}$-faches, ${\displaystyle n-3}$-faches, ... Kontinuum. Aus der Vorstellung der allseitigen Kontinuität der in einer Totalität enthaltenen Lösungen entwickelt sich diejenige der Unabhängigkeit ihrer gegenseitigen Lage von dem System der gebrauchten Variabeln, insofern durch Transformation neue Variabeln an ihre Stelle treten können. Diese Unabhängigkeit spricht sich aus in der Unveränderlichkeit dessen, was ich den Abstand zweier gegebener Lösungen (${\displaystyle x,y,\ldots }$), (${\displaystyle x',y',\ldots }$) nenne und im einfachsten Fall durch

${\displaystyle {\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+\ldots }}}$

definiere, indem ich gleichzeitig das System der Variabeln ein orthogonales heiße, [...]

我們可以看到施萊夫利仍然將多維空間裡的點看成是線性方程的解，以及他是如何考慮一個沒有任何方程的系統，以現在的說法就是只看所有在${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$的點。他在1850及1860年間裡發表的文章裡宣傳這個概念，這個概念很快地成熟茁壯起來。在1867年他以「我們考慮n元組點組成的空間...」做為文章的開頭，這表示他已有了深刻的理解，讀者也不再需要冗長的解釋。

• 多胞體
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