極大與極小元

設${\displaystyle (P,\leq )}$為预序集，又設${\displaystyle S\subseteq P}$，則${\displaystyle S}$中關於${\displaystyle \,\leq \,}$的極大元定義為滿足以下性質的元素${\displaystyle m\in S}$：

若有${\displaystyle s\in S}$使${\displaystyle m\leq s,}$ 則必有${\displaystyle s\leq m.}$

與之類似，${\displaystyle S}$中關於${\displaystyle \,\leq \,}$的極小元是滿足以下性質的元素${\displaystyle m\in S}$：

若有${\displaystyle s\in S}$使${\displaystyle s\leq m,}$ 則必有${\displaystyle m\leq s.}$

等價地，亦可將${\displaystyle S}$關於${\displaystyle \,\leq \,}$的極小元定義為${\displaystyle S}$關於${\displaystyle \,\geq \,}$的極大元，其中對任意${\displaystyle p,q\in P}$，${\displaystyle q\geq p}$當且僅當${\displaystyle p\leq q}$。

若無明示子集${\displaystyle S}$，則所謂極大元預設是${\displaystyle P}$的極大元。

若預序集${\displaystyle (P,\leq )}$實為偏序集[註 1]，或者限縮到${\displaystyle (S,\leq )}$是偏序集，則${\displaystyle m\in S}$為極大當且僅當${\displaystyle S}$無嚴格較${\displaystyle m}$大的元素。換言之，不存在${\displaystyle s\in S}$使${\displaystyle m\leq s}$及${\displaystyle m\neq s.}$ 將本段的${\displaystyle \,\leq \,}$號一律換成${\displaystyle \,\geq \,}$就得到極小元的描述。

極大/極小元不必存在。

• 例一：考慮實數系${\displaystyle \mathbb {R} }$的區間${\displaystyle S=[1,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$。對任意元素${\displaystyle m\in S}$，${\displaystyle s=m+1}$仍在${\displaystyle S}$中，但${\displaystyle m<s}$，因此沒有元素${\displaystyle m}$為極大。
• 例二：考慮有理數系${\displaystyle \mathbb {Q} }$的子集${\displaystyle S=\{s\in \mathbb {Q} ~:~1\leq s^{2}\leq 2\}}$，因為根號2是無理數，對任何有理數${\displaystyle m\leq {\sqrt {2}}}$皆可找到另一有理數${\displaystyle s}$使${\displaystyle m<s<{\sqrt {2}}}$。

但在某些情況下，極大/極小元保證存在。

• 若${\displaystyle S}$為有限非空子集，則必有極大元和極小元。（對無窮子集無此結論，如整數系${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }$就沒有極大元。）
• 佐恩引理斷言：「若偏序集${\displaystyle P}$中，每個全序子集${\displaystyle S}$皆有上界，則${\displaystyle P}$至少有一個極大元。」此引理等價於良序定理和选择公理，[3]在數學的多個分支有重要推論，例如可證任何向量空間皆有基（極大的代數無關子集），或是任何域皆有代數閉包（代數擴張偏序下的極大元）。

極大/極小元不必唯一。

• 帕累托效率中，「帕累托最優」的狀態即是帕累托改善偏序下的極大元，此類極大元的集合又稱為「帕累托前緣」（）。
• 决策论中，可容決策規則是優勢偏序下的極大元。
• 现代投资组合理论中，風險（以低為優）與回報（以高為優）的積序[註 2]下，極大元稱為效率投資組合（），組成的集合則為效率前緣。
• 集合论中，某集合為有限當且僅當其任意非空子集族（以包含關係為偏序）皆有極小元。[註 3]
• 抽象代数中，需要將最大公因數的概念推廣為極大公因子，因為某些數系中，若干個元素的公因子集合可能有多於一個極大元（整除意義下）。
• 计算几何中，點集的極大元是逐分量比較[註 2]下的極大元。