柯尼希定理 (图论)

图的顶点覆盖是指它的一个顶点集，该图的每一条边都至少有一个端点在这个顶点集中。如果该图没有一个点数更少的顶点覆盖，则称其为最小顶点覆盖。[1]

图的匹配是指一个边的集合，每两条边都没有公共顶点。一个匹配称为最大匹配，如果不存在一个边数更多的匹配。[2]

对于匹配的每一条边，顶点覆盖中至少有一个顶点为此边的端点，因此任何顶点覆盖集的元素个数都大于等于所有匹配集的元素个数。柯尼希定理表明对于二部图，这两个集合元素大小相同。

在任意二部图中，最大匹配的边数等于最小顶点覆盖的顶点数。 [3]

如图粗线代表匹配 M，红点代表集合 U

设${\displaystyle M}$是一个最大匹配，因为顶点覆盖大于等于匹配集的大小，因此我们只需构造一个大小为${\displaystyle |M|}$的顶点覆盖。构造如下：

将二部图的两部分分别记为 A 和 B。一个图关于匹配 M 的交错路（alternating path）是指一条从图中一个非匹配顶点出发，边在匹配集 M 与 ${\displaystyle E\backslash M}$ 中交错出现的道路。[4]取顶点集 U 如下：对于 M 的每条边，如果存在一条交错路终止于该边在 B 中的端点，那么该端点属于 U，否则该边在 A 中的端点属于 U。因爲 U 里每一个顶点都与 M 的一条边一一对应，所以${\displaystyle |U|=|M|}$。因此我们只需要证明 U 为一个顶点覆盖。

假设有一条边 ab 没有被 U 覆盖，即 ${\displaystyle a\in A,b\in B}$都不在 U 中。如果 a 不是某一匹配的端点，那么 ab 本身就是一条从非匹配顶点出发的交错路，那么${\displaystyle b\in U}$，矛盾。如果 a 属于某个匹配 ab'，那么${\displaystyle b'\in U}$。这样，${\displaystyle Pb'ab}$就是一条交错路，从而${\displaystyle b\in U}$，矛盾。

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