标准误差

标准误差针对样本统计量而言，是某个样本统计量的标准差。当谈及标准误差时，一般须指明对应的样本统计量才有意义。以下以样本均值（样本均值是一种样本统计量）作为例子：

例如， 样本均值是总体均值的无偏估计。但是，来自同一总量的不同样本可能有不同的均值。

于是，假设可以从总体中随机选取无限的大小相同的样本，那每个样本都可以有一个样本均值。依此法可以得到一个由无限多样本均值组成的总体，该总体的标准差即为标准误差。

在很多实际应用中，标准差的真正值通常是未知的。因此，标准误这个术语通常运用于代表这一未知量的估计。在这些情况下，需要清楚业已完成的和尝试去解决的标准误差仅仅可能是一个估量。然而，这通行上不太可能：人们可能往往采取更好的估量方法，而避免使用标准误，例如采用最大似然或更形式化的方法去测定信賴區間。第一个众所周知的方法是在适当条件下可以采用学生t-分布为一个估量平均值提供置信区间。在其他情况下，标准差可以有效地利用于提供一个不确定性空间的示值，但其正式或半正式使用是提供置信区间或测试，并要求样本总量必须足够大。其总量大小取决于具体的数量分析[2]。

｢样本均值的估計标准误差｣，簡稱平均值标准误差（），或平均数标准误差。必須記得在簡稱的背後總是意指｢樣本的｣。

如果已知总體的標準差(σ)，那麼抽取無限多份大小為 n 的樣本，每個樣本各有一個平均值，所有這個大小的樣本之平均值的標準差可證明為（注意！不是一份樣本裡觀察值的標準差（那是下面公式裡的${\displaystyle s}$））：

${\displaystyle SD_{\bar {x}}\ ={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$

但由於通常σ為未知，此時可以用研究中取得樣本的標準差 (s) 來估計${\displaystyle SD_{\bar {x}}}$：

${\displaystyle SE_{\bar {x}}\ ={\frac {s}{\sqrt {n}}}}$

其中，s为样本的标准差，n为样本数量（大小）。

名詞比較：

${\displaystyle SD_{\bar {x}}}$：樣本平均值的標準｢差｣ (standard deviation of sample mean)

${\displaystyle s}$　：｢樣本的｣標準差 (standard deviation of sample)

${\displaystyle SE_{\bar {x}}}$：樣本平均值的標準｢誤｣ (standard error of sample mean)。

注意：

1. 标准误差也可定义为残差的标准差[3][4]。
2. 无论是标准误差还是小型样本的标准差，都往往低估了母体的标准误差和标准差：平均数的标准误差是总量标准误差的一个有偏估计量。当样本总量 n = 2 时，低估率大概为25% ；但 n = 6 时，低估率只有5%。基于此，古尔兰（）和特里帕蒂（）对此公式作了改进努力[5]。

如果数据集服从正态分布，其正态分布函数的分位数、样本平均数和标准差都可以用来计算合适的平均数信賴區間。

以下公式表示在大于或小于95%的置信区间中，${\displaystyle {\bar {x}}}$ 等于样本平均数时，S 等于样本平均数的标准差，1.96 则为服从正态分布的第 0.975百分位数值。

95% 置信区间的上限 = ${\displaystyle {\bar {x}}}$＋ (S ×1.96) ,

95% 置信区间的下限 = ${\displaystyle {\bar {x}}}$－ (S ×1.96) .

特殊情况下，样本统计（比如样本平均数）的标准误是一个有偏誤的估计标准。换句话说，标准误是一个样本统计的样本分布的标准差。这一标准误的符号可以是任何${\displaystyle SE}$、${\displaystyle SEM}$、${\displaystyle S_{E}}$之一。

标准误提供一系列在证明数值不确定性的简单方法，并通常用于：

• 如果一些个体数量的标准误是已知的，那么在一些情况下，一些方程的百分位数的标准误可以被容易运算出来；
• 当概率分布的数值已知，标准误可以用来推算精确的置信区间，并且；
• 当概率分布的数值未知，其他切比雪夫不等式等可以用来推算一个保守的置信区间。
• 只要样本总量倾向於无穷大，中心极限定理可以保证其样本分布渐进地倾向于正态分布。

鉴于对上述标准误差的公式，假设样本量远小于总量规模，所以总量可以被视为足够大。当取样比例较大（大约为5%或以上）时，对标准误的估计必须用“有限总体校正”（）[6]：

FPC(${\displaystyle C_{n}^{N}}$)	FPC(${\displaystyle H_{n}^{N}}$)
樣本元素為不可重復組合	樣本元素為可重復組合
所有可能樣本的數目 = ${\displaystyle C_{n}^{N}}$	所有可能樣本的數目 = ${\displaystyle H_{n}^{N}}$
${\displaystyle FPC(C_{n}^{N})={\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}}$	${\displaystyle FPC(H_{n}^{N})={\sqrt {\frac {N+n}{N+1}}}}$

该公式以考虑到增加所获得的采样精度，以接近的人口较大比例。有限总体校正的意义在于：如果样本大小 n 等于总量大小 N 时，有限总体校正数值为零。

一个样本中的预期误差与样本误差系数关系，其无误差的标准误，即 ρ=0，函数为图中红色直线，系数为-½

如果实测量 A 的数值不具有统计意义上的独立性，但是其仍然可以从已知的参数空间 x 中获取。那么一个误差的无偏估计可以通过以下方程获得：

${\displaystyle {\text{f}}={\sqrt {\frac {1+(n-1)\rho }{1-\rho }}}}$

其中，样本偏差系数 ρ 为自相关系数 ρ_ij （-1到1之间的数量）的平均值。

相对标准误差（）仅仅是标准误除以平均值的一种百分比表述。例如，制作两份家庭收入调查，其平均值为50000美元。如果一个调查的标准误有10000美元，而另一个则为5000美元，其相对标准误差分别为20%和10%。直观地说，拥有较低标准误差的调查看起来更为可靠。事实上，由于制作数据机构通常预设可信度标准，以使得其统计数据必须满足此前公布的内容。譬如，美国国家卫生统计中心通常不会报告其数据相对标准误差超过30%的估计。

• 方差和标准差
• 样本均值和样本方差