格尔丰德-施奈德定理

格尔丰德-施奈德定理英語:)是一个可以用于证明许多数的超越性的结果。这个定理由苏联数学家亚历山大·格尔丰德和德国数学家西奧多·施耐德在1934年分别独立证明,它解決了希尔伯特第七问题

表述

如果代数数,其中,且不是有理数,那么任何的值一定是超越数

评论

  • 不限于实数,也可以是虚部不为零的复数。因此,可以是多值的,其中“log”表示复数对数,且该定理对每个值都是成立的。
  • 该定理的一个等价的表述是:如果 是非零的代数数,那么 要么是有理数,要么是超越数。
使用反證法。
假設 不為超越數,也不為有理數,即為代數數
根據此定理, 為超越數
卻是代數數,矛盾。
要么是有理数,要么是超越数。
  • 如果没有 是代数数的限制,这个定理未必成立。例如:
    • 為超越數(由本定理可得知), 為代數數,則
,是代數數。
    • 為代數數, 為超越數,則
,是代数数。

定理的应用

利用这个定理,立刻就可以推出以下实数的超越性:

参见

  • 林德曼-魏尔斯特拉斯定理
  • Schanuel猜想,如果证明了这个猜想,就可以同时推出格尔丰德-施奈德定理和林德曼-魏尔斯特拉斯定理。

参考文献

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.