超越數

超越數是代數數的相反，也即是說若${\displaystyle x}$是一個超越數，那麼對於任何整數${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{0}}$都符合：

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\neq 0}$

（其中${\displaystyle a_{n}\neq 0}$）

超越數的例子包括：

• 錢珀瑙恩數
• 刘维尔数：${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots }$
  它是第一個確認為超越數的數，是於1844年刘维尔發現的。
• 自然對數底${\displaystyle {\boldsymbol {e}}}$（参见：e）。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}^{a}}$ ，其中${\displaystyle a}$是除0以外的代數數。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}}$（参见：圓周率）
  林德曼-魏尔斯特拉斯定理，1882年，注：因${\displaystyle \pi \,}$是超越數而證明尺規作圖中的“化圓為方”的不可實現性。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {e^{\pi }}}}$（参见：e的π次方）
• ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$（参见：2的√2次方）。
  更一般地，若${\displaystyle a\,}$為零和一以外的任何代數數及${\displaystyle b\,}$為無理代數數則${\displaystyle a^{b}\,}$必為超越數。這就是格尔丰德-施奈德定理。
• ${\displaystyle \sin 1\,}$（参见：正弦）
• ${\displaystyle \ln a\,}$（参见：自然对数），其中${\displaystyle a\,}$為一不等于1的正有理數。
• ${\displaystyle \mathbf {W} (a)\,}$（参见：朗伯W函數），其中${\displaystyle a\,}$為一正有理數。
• ${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{3}})\,}$ ${\displaystyle \left(\approx 2.67894\right)\,}$，${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{4}})\,}$ ${\displaystyle \left(\approx 3.62561\right)\,}$及${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{6}})\,}$ ${\displaystyle \left(\approx 5.56632\right)\,}$（參見伽傌函數）。

所有超越數構成的集是一個不可數集，也就是說，幾乎所有的實數和複數都是超越數；儘管如此，現今發現的超越數極少，甚至连${\displaystyle \pi +e\,}$是不是超越数也不知道，因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。

超越數的證明，給數學帶來了大的變革，解決了幾千年來數學上的難題——尺規作圖三大問題，即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。隨著超越數的發現，這三大問題被證明為不可能。

以下數仍待證明為超越數或代數數：

• 數 e 和${\displaystyle \pi }$的大多數和、積、冪等等，例如${\displaystyle \pi +e}$, ${\displaystyle \pi -e}$, ${\displaystyle \pi e}$, ${\displaystyle {\frac {\pi }{e}}}$, ${\displaystyle \pi ^{\pi }}$, ${\displaystyle e^{e}}$, ${\displaystyle \pi ^{e}}$, ${\displaystyle \pi ^{\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle \pi ^{\pi ^{2}}}$尚未得知是有理數、代數無理數或超越數。值得注意的例外是${\displaystyle \pi +e^{\pi }}$, ${\displaystyle \pi e^{\pi }}$和 ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$（對於所有正整數 ${\displaystyle n}$）已被證明是超越數[1][2]
• 欧拉-马歇罗尼常数${\displaystyle \gamma }$，尚未被證明是無理數
• 卡塔兰常数，未被證明是無理數
• 阿培里常数${\displaystyle \zeta (3)}$ ，是无理数
• 黎曼ζ函數在其他奇整數的取值，${\displaystyle \zeta (5),\zeta (7),\ldots }$（尚未被證明是無理數）
• 費根鮑姆常數，${\displaystyle \delta }$與${\displaystyle \alpha }$，皆未证明是否为无理数
• 米尔斯常数，未证明是否为无理数
• 辛钦常数，未证明是否为无理数
• 科普兰-埃尔德什常数，是无理数

猜想：

• Schanuel猜想
• 四指数猜想

第一個對自然對數底 e是超越數的證明可以追溯到1873年。我們現在跟隨的是大卫·希尔伯特的策略。他給出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示：

為尋找矛盾，假設${\displaystyle e}$是代數數。那就存在一個有限的整係數集${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}}$滿足下列等式：

${\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0.}$

現在對於一個正整數${\displaystyle k}$，我們定義如下的多項式：

${\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},}$

並在上述等式的兩端乘上

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx,}$

於是我們得到等式：

${\displaystyle c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)=0.}$

該等式可以寫成這種形式

${\displaystyle P+Q=0}$

其中

${\displaystyle P=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)}$

${\displaystyle Q=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right)}$

引理 1. 對於恰當選擇的${\displaystyle k}$， ${\displaystyle {\frac {P}{k!}}}$ 是非零整數。

證明： P 的每一項都是整數乘以階乘的和，這可以從以下的關係式得出

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!}$

對於任何正整數 j 成立（考慮Γ函数）。

它是非零的，因為對於每一個滿足 0< a ≤ n 的 a ，

${\displaystyle c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx}$

中的被積函數均為 e^−x 乘以一些項的和，在積分中用 x - a 替換 x 后， x 的最低冪次是 k+1 。然後這就變成了具有以下形式的積分的和

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx}$

其中 k+1 ≤ j ，而且它是一個能被 (k+1)! 整除的整數。在除以 k! 后，我們得到模 (k+1) 得 0 的數。不過，我們可以寫成：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left([(-1)^{n}(n!)]^{k+1}e^{-x}x^{k}+\cdots \right)dx}$

於是

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1}\qquad \mod (k+1).}$

通過選擇 k ，使得 k+1 是大於 n 與 |c₀| 的質數，我們可以得出 ${\displaystyle {\tfrac {P}{k!}}}$ 模 (k+1) 為非零，從而該數為非零整數。

引理 2. 對於充分大的 k ， ${\displaystyle \left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1}$ 。

證明： 注意到

${\displaystyle f_{k}e^{-x}=x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}=\left([x(x-1)\cdots (x-n)]^{k}\right)\left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)}$

使用 ${\displaystyle |x(x-1)\cdots (x-n)|}$ 和 ${\displaystyle |(x-1)\cdots (x-n)e^{-x}|}$ 在區間 [0,n] 的上限 G 和 H ，我們可以推出

${\displaystyle |Q|<G^{k}H(|c_{1}|e+2|c_{2}|e^{2}+\cdots +n|c_{n}|e^{n})}$

從而

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0}$

於是有

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {Q}{k!}}=0}$

這點足以完成對引理的證明。

注意可以選擇滿足兩個引理的${\displaystyle k}$，從而我們能得出矛盾。進而得以證明${\displaystyle e}$的超越性。

库尔特·马勒在1932年把超越數分為3類，分別叫做S數、T數和U數[3]。這些類別的定義利用了劉維爾數思想的擴充。

• 多項式
• 無理數
• 代數數
• 林德曼-魏尔斯特拉斯定理