格爾豐德-施奈德常數

儘管已知 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ 是超越數，自然也就會是無理數。但在不知道它是無理數的情況下，仍可以證明此事。

命題：在在 a, b 是無理數，使得 ${\displaystyle a^{b}}$為有理數。

證明：

已知${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是無理數，考慮 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$，它有可能是有理數，也可能是無理數。

• 若 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ 是有理數，即得證。
• 若 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ 是無理數，則

${\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}=({\sqrt {2}})^{{\sqrt {2}}\ \times {\sqrt {2}}}=({\sqrt {2}})^{2}=2.}$

為有理數，得證。

希尔伯特的第七个问题是要证明（或找出反例），如果a是一个不等于0或1的代数数，b是一个无理代数数，则a^b总是超越数。他给出了两个例子，其中一个就是${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$。

1919年，他发表了一个关于数论的演讲，谈到了三个猜想：黎曼猜想、费马大定理和${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$的超越性。他对观众说，在你们还活着的时候肯定没人证明这三个猜想。[4]但这个数的超越性在1934年得出证明[5]，当时希尔伯特还活着。

• e的π次方
• 希尔伯特数

1. Courant, R.; Robbins, H., , Oxford University Press: 107, 1996
2. R. O. Kuzmin. . Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. matem. 1930, 7: 585–597.
3. Aleksandr Gelfond. . Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. 1934, VII (4): 623–634 [2021-11-01]. （原始内容存档于2020-06-11）.
4. David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919-1920.
5. Aleksandr Gelfond, Sur le septième Problème de Hilbert, Bull. Acad. Sci. URSS Leningrade 7, pp.623-634, 1934.