格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理

域${\displaystyle k}$的光滑射影曲线上秩为${\displaystyle n}$、度为${\displaystyle d}$（定义为其行列式；或等价地，其第一陈类的度）的向量丛${\displaystyle E\to C}$有类似于线丛的黎曼-罗赫形式的公式。若取点${\displaystyle X=C}$、${\displaystyle Y=\{*\}}$，则格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式可理解为

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })&=h^{0}(C,E)-h^{1}(C,E)\\f_{*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {td} (X))&=f_{*}((n+c_{1}(E))(1+(1/2)c_{1}(T_{C})))\\&=f_{*}(n+c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=f_{*}(c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=d+n(1-g);\end{aligned}}}$

于是

${\displaystyle \chi (C,E)=d+n(1-g).}$[6]

此式也适于秩为${\displaystyle n}$、度为${\displaystyle d}$的相干层。

格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式的优点之一是可解释为希策布鲁赫-黎曼-罗赫公式的相对版本。例如，光滑态射${\displaystyle f\colon X\to Y}$的纤维都是等维的（在基变为${\displaystyle \mathbb {C} }$时作为拓扑空间是同构的）。在模理论中考虑由模空间${\displaystyle {\mathcal {M}}}$对光滑真空间进行参数化时，这事实非常好用。例如，戴维·芒福德用它推导了代数曲线模空间上的周环关系。[7]

对${\displaystyle g}$属曲线（且无标记点）的模叠${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$，有通用曲线${\displaystyle \pi \colon {\overline {\mathcal {C}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$，其中${\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}_{g}={\overline {\mathcal {M}}}_{g,1}}$是属${\displaystyle g}$曲线和一个标记点的模叠。然后定义重言类

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}&=c_{1}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\kappa _{l}&=\pi _{*}(K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}^{l+1})\\\mathbb {E} &=\pi _{*}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\lambda _{l}&=c_{l}(\mathbb {E} )\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle 1\leq l\leq g}$与${\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}}$是相关的对偶化层。注意${\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}}$在点${\displaystyle [C]\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$上的纤维，这就是对偶化层${\displaystyle \omega _{C}}$。可利用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理找到光滑轨迹的周环${\displaystyle A^{*}({\mathcal {M}}_{g})}$上的${\displaystyle \kappa _{i}}$之和[7] (corollary 6.2)，从而找到描述${\displaystyle \lambda _{i}}$的${\displaystyle \lambda _{i}}$、${\displaystyle \kappa _{i}}$间的关系。由于${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$是光滑德利涅-芒福德叠，可考虑由概形${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$的覆盖，对某个有限群${\displaystyle G}$可给出${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=[{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}/G]}$。对${\displaystyle \omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}}$应用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理，可得

${\displaystyle \mathrm {ch} (\pi _{!}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}))=\pi _{*}(\mathrm {ch} (\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}})\mathrm {Td} ^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1}))}$

因为

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1}\pi _{!}({\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}})\cong {\mathcal {O}}_{\tilde {M}},}$

由上式可知

${\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )=1+\pi _{*}({\text{ch}}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}){\text{Td}}^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1})).}$

这样，${\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )}$的计算可以进一步减少。在偶数维${\displaystyle 2k}$，

${\displaystyle {\text{ch}}(\mathbb {E} )_{2k}=0.}$

另外在1维，

${\displaystyle \lambda _{1}=c_{1}(\mathbb {E} )={\frac {1}{12}}(\kappa _{1}+\delta ),}$

其中${\displaystyle \delta }$是边界上的一个类。${\displaystyle g=2}$时，在光滑轨迹${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$上有如下关系

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {1}{12}}\kappa _{1}\\\lambda _{2}&={\frac {\lambda _{1}^{2}}{2}}={\frac {\kappa _{1}^{2}}{288}}\end{aligned}}}$

可通过分析${\displaystyle \mathbb {E} }$的陈示性推得。

闭嵌入${\displaystyle f\colon Y\to X}$也可用格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式描述，其显示了公式成立的另一种非平凡情形。[8]对${\displaystyle n}$维光滑簇${\displaystyle X}$及余维为${\displaystyle k}$的子簇${\displaystyle Y}$，有

${\displaystyle c_{k}({\mathcal {O}}_{Y})=(-1)^{k-1}(k-1)![Y]}$

由短正合序列

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Y}\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Y}\to 0}$,

有下式

${\displaystyle c_{k}({\mathcal {I}}_{Y})=(-1)^{k}(k-1)![Y]}$

for the ideal sheaf since ${\displaystyle 1=c({\mathcal {O}}_{X})=c({\mathcal {O}}_{Y})c({\mathcal {I}}_{Y})}$.

过两天都是-黎曼-罗赫公式可用于证明粗糙模空间${\displaystyle M}$（如有尖代数曲线的模空间${\displaystyle M_{g,n}}$）可嵌入到射影空间，因此是准射影簇。这可以通过观察${\displaystyle M}$上的规范相伴层（canonically associated sheaf）、研究相伴线丛的度实现。例如，${\displaystyle M_{g,n}}$[9]有曲线族

${\displaystyle \pi \colon C_{g,n}\to M_{g,n}}$

有截面

${\displaystyle s_{i}\colon M_{g,n}\to C_{g,n}}$

对应标记点。由于每根纤维都有规范丛${\displaystyle \omega _{C}}$，有相伴线丛

$${\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )=\det(\mathbf {R} \pi _{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}))}$$

及

$${\displaystyle \chi _{g,n}^{(i)}=s_{i}^{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}).}$$

于是

${\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{n}\chi _{g,n}^{(i)}\right)}$

是丰沛线丛[9]^:209，因此粗糙模空间${\displaystyle M_{g,n}}$是准射影的。