格羅莫夫雙曲空間

數學上，設 $\delta \geq 0$ 為一常數，則一個度量空間 $X$ 是格羅莫夫(Gromov)δ-雙曲空間，簡稱δ-雙曲空間，如果 $X$ 中任意四點 $p,x,y,z$ 都符合不等式

(x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta

其中 $(x,y)_{p}$ 是 $x,y$ 對基點 $p$ 的格羅莫夫積。若δ的實際數值不重要時，也可稱作格羅莫夫雙曲空間或雙曲空間。以上是米哈伊爾·格羅莫夫的定義，因為不須用到測地線，故可以用於一般的度量空間。

一個測地度量空間是格羅莫夫雙曲的，當且僅當存在常數 $\delta \geq 0$ ，使得每個測地三角形（三邊都是測地線段的三角形）都是δ-瘦，即是三角形每一邊上任何一點，距離另外兩邊其中一邊少於δ。

以上的δ-瘦條件由以利亞·里普斯(Eliyahu Rips)給出，此外又有數種等價條件[1]。格羅莫夫定義中的δ未必等於里普斯條件的δ，但如果一個測地度量空間符合格羅莫夫定義中的δ-雙曲性，則它符合里普斯4δ-瘦條件；反之若這空間符合里普斯δ-瘦條件，則符合格羅莫夫定義的8δ-雙曲性。[1]

例子

樹是0-雙曲空間，因為其上任何三角形都是退化的。
有限直徑的度量空間都是雙曲空間。
設 $X,Y$ 為測地度量空間， $f:X\to Y$ 是一個擬等距映射，如果 $Y$ 是雙曲空間，那麼 $X$ 也是雙曲空間。
若 $X$ 是負曲率的緊緻黎曼流形，那麼其萬有覆疊空間 ${\widetilde {X}}$ 是雙曲空間，而 $X$ 的基本群 $\pi _{1}(X)$ 賦予字度量後可以擬等距映射到 ${\widetilde {X}}$ （施瓦茨－米爾諾引理），所以也是雙曲空間。 $\pi _{1}(X)$ 因此是雙曲群。

理想邊界

設X是一個格羅莫夫雙曲空間， $(x_{i})$ 為X中一個序列。如果

當

i,j\to \infty

時，

(x_{i},x_{j})_{p}\to \infty

，

稱 $(x_{i})$ 收斂於無窮。其中p是X中某個定點， $(x_{i},x_{j})_{p}$ 是 $x_{i},x_{j}$ 對基點p的格羅莫夫積。

對收斂於無窮的序列 $(x_{i})$ 定義一個等價關係如下： $(x_{i})\sim (y_{i})$ ，如果

當

i,j\to \infty

時，

(x_{i},y_{j})_{p}\to \infty

。

由這些等價類構成的集合稱為X的理想邊界 $\partial X$ 。

注意上述條件都不依賴於基點p，因為格羅莫夫積對p是1-利普希茨連續的，即是若將p換作另一點q，則任兩點的格羅莫夫積以q為基點時的值，與以p為基點時的值，相差不超過p和q的距離。

若序列 $(x_{i})$ 在等價類 $a\in \partial X$ 內，那麼稱 $x_{i}\to a$ 。這樣就在 $X\cup \partial X$ 上定義了一個拓撲，使得X在 $X\cup \partial X$ 內是稠密的。

等價定義

設格羅莫夫雙曲空間X是測地和常態的，其理想邊界有等價定義如下：

一個映射 $f:[0,\infty )\to X$ 稱為擬射線，如果f是一個擬等距嵌入。對X中的擬射線定義等價關係：兩條擬射線等價，若二者的豪斯多夫距離是有限的。那麼由擬射線的等價類構成的集合是X的理想邊界。
選取X中任何一點w為基點。對所有從w點出發的測地射線，定義如上一項所述的等價關係。則由這些測地射線的等價類構成的集合是X的理想邊界。

參見

雙曲群

參考

É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.

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