正常重力位

采用球面作为正常椭球体的近似，将椭球体外部（${\displaystyle r>a}$）的引力位展开为边界面（ ${\displaystyle r=a}$ ）上的球谐级数，则其表达式为：[2]^:59[4]^:79

${\displaystyle V={\sum _{n=0}^{\infty }}{\frac {1}{r^{n+1}}}{\sum _{m=0}^{n}}P_{nm}(\cos \theta )\left[A_{nm}\cos m\lambda +B_{nm}\sin m\lambda \right]}$

或

${\displaystyle V={\frac {GM}{r}}{\sum _{n=0}^{\infty }}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}{\sum _{m=0}^{n}}P_{nm}(\cos \theta )\left[C_{nm}\cos m\lambda +S_{nm}\sin m\lambda \right]}$

上式中各项符号的物理或数学意义如下：

• ${\displaystyle (r,\theta ,\lambda )}$是空间中某特定点的球坐标，${\displaystyle r}$ 是空间中某点的地心距离， ${\displaystyle \theta }$ 和 ${\displaystyle \lambda }$ 分别是该点的极距和经度

• ${\displaystyle GM}$ 为正常椭球体的地心引力常数
• ${\displaystyle a}$ 为椭球的長半径
• ${\displaystyle P_{n}}$ 是 ${\displaystyle n\ }$阶勒让德多项式，${\displaystyle P_{nm}}$ 是 ${\displaystyle n\ }$阶 ${\displaystyle m\ }$次缔合勒让德多项式
• ${\displaystyle A_{nm}}$ 和 ${\displaystyle B_{nm}}$ 、${\displaystyle C_{nm}}$ 和 ${\displaystyle S_{nm}}$ 是由积分求得的球谐系数，且积分表达式为：[2]^:59[4]^:90

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}A_{nm}\\B_{nm}\end{Bmatrix}}=(2-\delta _{m,0}){(n-m)! \over (n+m)!}G\iiint \limits _{\text{earth}}r'^{n}P_{nm}(\cos \theta '){\begin{Bmatrix}\cos m\lambda '\\\sin m\lambda '\end{Bmatrix}}\operatorname {d} \!M'\quad }$

或

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}C_{nm}\\S_{nm}\end{Bmatrix}}=(2-\delta _{m,0}){(n-m)! \over (n+m)!}{1 \over M}\iiint \limits _{\text{earth}}{\left({r' \over a}\right)}^{n}P_{nm}(\cos \theta '){\begin{Bmatrix}\cos m\lambda '\\\sin m\lambda '\end{Bmatrix}}\operatorname {d} \!M'\quad }$

其中 ${\displaystyle \delta _{m,0}}$ 为克罗内克δ函数，当 ${\displaystyle m=0}$ 时为零，其他情况下为一。

展开后的球谐级数具有以下性质：

1. 正常重力场具有旋转对称性，即其产生的正常重力位与经度无关，因此上式中面谐函数的部分可被简化作 ${\displaystyle A_{n,0}P_{n}(\cos \theta )}$ 或 ${\displaystyle C_{n,0}P_{n}(\cos \theta )}$
2. 当坐标系的原点与椭球体的质心重合时，可证明该级数中的一阶系数为零，即 ${\displaystyle A_{1,m}=B_{1,m}=0}$ 或 ${\displaystyle C_{1,m}=S_{1,m}=0}$
3. 保留的阶数根据观测资料的精度以及对正常重力位要求的精度确定[1]^:207-208，一般只需保留至8阶项[4]^:95

根据上述性质，该表达式可进一步简化为：

${\displaystyle V={\sum _{n=0}^{8}}{\frac {1}{r^{n+1}}}A_{n,0}P_{n}(\cos \theta )}$

或

${\displaystyle V={\frac {GM}{r}}{\sum _{n=0}^{8}}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}C_{n,0}P_{n}(\cos \theta )}$

利用引力位 ${\displaystyle V}$ 在边界面外部满足拉普拉斯方程的性质，将地球的真实引力位可展开为球谐级数，保留其中的头几项作为正常重力位的引力位部分从而确定正常重力位的方法被称为拉普拉斯方法。[1]^:190-191通过选取不同的大地水准面重力位值，可以得到不同的正常重力位等位面，从中选取一个最接近于大地水准面的，这一曲面即为产生正常重力位的质体的表面。

将正常重力位直接展开成椭球面 ${\displaystyle S_{0}}$ 上的级数，称为椭球谐级数，形式较球谐函数更为复杂：[2]^:65

${\displaystyle U=V+\Phi =\sum _{n}^{\infty }{Q_{n}\left(i{u \over E}\right) \over Q_{n}\left(i{b \over E}\right)}A_{n}P_{n}(\sin \beta )+{1 \over 2}\omega ^{2}(u^{2}+E^{2})\cos ^{2}\beta }$

上式中各项符号的物理或数学意义与球谐函数有所不同：

• ${\displaystyle (u,\beta ,\lambda )}$ 是空间中某特定点的椭球坐标，${\displaystyle u}$ 是该坐标所在椭球的短轴半长， ${\displaystyle \beta }$ 和 ${\displaystyle \lambda \ }$分别是该点的归化纬度和经度
• ${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$ 分别是正常椭球面 ${\displaystyle S_{0}}$ 的半長軸和半短轴，${\displaystyle E={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$ 是椭球的线性偏心率（即半焦距）
• ${\displaystyle Q_{n}}$是 ${\displaystyle n}$ 阶第二类勒让德多项式

当 ${\displaystyle u=b}$ 时，由重力位 ${\displaystyle U_{0}}$ 所决定的等位面应当与正常椭球面 ${\displaystyle S_{0}}$ 相重合，此时有：

${\displaystyle U_{0}=V_{0}+\Phi _{0}=\sum _{n}^{\infty }A_{n}P_{n}(\sin \beta )+{1 \over 2}\omega ^{2}a^{2}\cos ^{2}\beta }$

当且仅当所有含 ${\displaystyle P_{n}(\sin \beta )}$ 的项均为零时，对于任意 ${\displaystyle \beta }$ 值该公式都成立。对其头三项进行展开：[2]^:66

${\displaystyle \left(A_{0}+{1 \over 3}\omega ^{2}a^{2}-U_{0}\right)P_{0}(\sin \beta )+A_{1}P_{1}(\sin \beta )+\left(A_{2}-{1 \over 3}\omega ^{2}a^{2}\right)P_{2}(\sin \beta )+\sum _{n=3}^{\infty }A_{n}P_{n}(\sin \beta )=0}$

因此，有

• ${\displaystyle A_{0}=U_{0}-{1 \over 3}\omega ^{2}a^{2}}$
• ${\displaystyle A_{1}=0}$
• ${\displaystyle A_{2}={1 \over 3}\omega ^{2}a^{2}}$
• ${\displaystyle A_{3}=A_{4}=\cdots =0}$

得到引力位部分的椭球谐级数表达式为：[2]^:66

${\displaystyle V=\left(U_{0}-{1 \over 3}\omega ^{2}a^{2}\right){Q_{0}\left(i{u \over E}\right) \over Q_{0}\left(i{b \over E}\right)}+{1 \over 3}\omega ^{2}a^{2}{Q_{2}\left(i{u \over E}\right) \over Q_{2}\left(i{b \over E}\right)}P_{2}(\sin \beta )=\left(U_{0}-{1 \over 3}\omega ^{2}a^{2}\right){\tan ^{-1}{E \over u} \over \tan ^{-1}{E \over b}}+{1 \over 3}\omega ^{2}a^{2}{q \over q_{0}}P_{2}(\sin \beta )}$

其中

• ${\displaystyle q={1 \over 2}\left[\left(1+3{\frac {u^{2}}{E^{2}}}\right)\tan ^{-1}{\frac {E}{u}}-3{\frac {u}{E}}\right]}$
• ${\displaystyle q_{0}={1 \over 2}\left[\left(1+3{\frac {b^{2}}{E^{2}}}\right)\tan ^{-1}{\frac {E}{b}}-3{\frac {b}{E}}\right]}$

考虑到椭圆坐标 ${\displaystyle (u,\beta )}$ 与向径 ${\displaystyle r}$ 存在如下转换关系：

${\displaystyle r^{2}=u^{2}+E^{2}\cos ^{2}\beta }$

利用该关系对下式进行线性化，得：

${\displaystyle {\frac {1}{u}}={\frac {1}{r}}+\mathrm {O} ({\frac {1}{r^{3}}})}$

${\displaystyle \tan ^{-1}{\frac {E}{u}}={\frac {E}{u}}+\mathrm {O} ({\frac {1}{u^{3}}})={\frac {E}{r}}+\mathrm {O} ({\frac {1}{r^{3}}})}$

利用这两项关系式，可以得到线性化后的引力位函数：

${\displaystyle V=\left(U_{0}-{1 \over 3}\omega ^{2}a^{2}\right){E \over \tan ^{-1}(E/b)}{\frac {1}{r}}+\mathrm {O} ({\frac {1}{r^{3}}})}$

比较与

${\displaystyle V={\frac {GM}{r}}+\mathrm {O} ({\frac {1}{r^{3}}})}$

得出大地水准面重力位的表达式：[2]^:67

${\displaystyle U_{0}={\frac {GM}{E}}\tan ^{-1}{\frac {E}{b}}+{1 \over 3}\omega ^{2}a^{2}}$

将大地水准面重力位的表达式代入原正常重力位的计算公式中，得：[2]^:67

${\displaystyle U(u,\beta )={\frac {GM}{E}}\tan ^{-1}{\frac {E}{u}}+{1 \over 2}\omega ^{2}a^{2}{\frac {q}{q_{0}}}\left(\sin ^{2}\beta -{1 \over 3}\right)+{1 \over 2}\omega ^{2}(u^{2}+E^{2})\cos ^{2}\beta }$

球谐系数的积分公式中包含了正常椭球体内质量的分布关系，且积分范围是整个正常椭球体，因此球谐系数与正常椭球体的某些物理性质相关。

当 ${\displaystyle n=0}$ 时，球谐系数只有一项：[2]^:61

${\displaystyle A_{0,0}=G\iiint \limits _{\text{earth}}\operatorname {d} \!M'=GM}$

或

${\displaystyle C_{0,0}={1 \over M}\iiint \limits _{\text{earth}}\operatorname {d} \!M'=1}$

即球谐系数的零阶项反映了正常椭球体的地心引力常数或总质量。

当 ${\displaystyle n=1}$ 时，球谐系数有三项：[2]^:61

${\displaystyle A_{1,0}=G\iiint \limits _{\text{earth}}z'\operatorname {d} \!M'=Gz_{M}}$

${\displaystyle A_{1,1}=G\iiint \limits _{\text{earth}}x'\operatorname {d} \!M'=Gx_{M}}$

${\displaystyle B_{1,1}=G\iiint \limits _{\text{earth}}y'\operatorname {d} \!M'=Gy_{M}}$

或

${\displaystyle C_{1,0}={1 \over Ma}\iiint \limits _{\text{earth}}z'\operatorname {d} \!M'={1 \over a}z_{M}}$

${\displaystyle C_{1,1}={1 \over Ma}\iiint \limits _{\text{earth}}x'\operatorname {d} \!M'={1 \over a}x_{M}}$

${\displaystyle S_{1,1}={1 \over Ma}\iiint \limits _{\text{earth}}y'\operatorname {d} \!M'={1 \over a}y_{M}}$

其中，${\displaystyle {\vec {r}}_{M}=\left(x_{M},y_{M},z_{M}\right)}$ 表示椭球的质心坐标。当坐标系的原点与椭球质心重合时，${\displaystyle x_{M}=y_{M}=z_{M}=0}$，所以球谐系数的一阶项一般都为零。[2]^:62

当 ${\displaystyle n=2}$ 时，球谐系数有五项（仅以 ${\displaystyle A_{m,n}}$ 和 ${\displaystyle B_{m,n}}$ 为例）：[2]^:62

${\displaystyle A_{2,0}=G\iiint \limits _{\text{earth}}{1 \over 2}(2z'^{2}-x'^{2}-y'^{2})\operatorname {d} \!M'}$

${\displaystyle A_{2,1}=G\iiint \limits _{\text{earth}}x'z'\operatorname {d} \!M'}$

${\displaystyle B_{2,1}=G\iiint \limits _{\text{earth}}y'z'\operatorname {d} \!M'}$

${\displaystyle A_{2,2}=G\iiint \limits _{\text{earth}}{1 \over 4}(x'^{2}-y'^{2})\operatorname {d} \!M'}$

${\displaystyle B_{2,2}=G\iiint \limits _{\text{earth}}{1 \over 2}x'y'\operatorname {d} \!M'}$

其中的五项积分，既可以四极矩张量 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 或惯性张量 ${\displaystyle \mathbf {I} }$ 表达：[4]^:91

${\displaystyle \iiint \limits _{\text{earth}}{1 \over 2}(2z'^{2}-x'^{2}-y'^{2})\operatorname {d} \!M'={1 \over 2}Q_{zz}={1 \over 2}(I_{xx}+I_{yy})-I_{zz}}$

${\displaystyle \iiint \limits _{\text{earth}}x'z'\operatorname {d} \!M'={1 \over 3}Q_{xz}=-I_{xz}}$

${\displaystyle \iiint \limits _{\text{earth}}y'z'\operatorname {d} \!M'={1 \over 3}Q_{yz}=-I_{yz}}$

${\displaystyle \iiint \limits _{\text{earth}}{1 \over 4}(x'^{2}-y'^{2})\operatorname {d} \!M'={1 \over 12}(Q_{xx}-Q_{yy})={1 \over 4}(I_{yy}-I_{xx})}$

${\displaystyle \iiint \limits _{\text{earth}}{1 \over 2}x'y'\operatorname {d} \!M'={1 \over 6}Q_{xy}=-{1 \over 2}I_{xy}}$

当且仅当坐标系的各坐标轴与地球的主惯性轴重合时，${\displaystyle I_{xz}=I_{xy}=I_{yz}=0}$，因此亦有 ${\displaystyle A_{2,1}=B_{2,1}=B_{2,2}=0}$。反过来，坐标轴的选择又决定了这三个二阶项系数的值：当坐标系的 ${\displaystyle Z}$ 轴指向协议地球极时，受极移等因素的影响，这一指向与地球的瞬时主惯性轴并不重合，因此 ${\displaystyle A_{2,1}}$ 与 ${\displaystyle B_{2,1}}$ 的并不为零；而 ${\displaystyle X}$ 轴的指向（通常是本初子午线）则决定了 ${\displaystyle B_{2,2}}$ 的数值。[4]^:91 另外，${\displaystyle A_{2,2}}$ 由赤道的形状决定：当正常椭球为对称的旋转体时，赤道是圆形，此时 ${\displaystyle I_{xx}=I_{yy}}$，即有${\displaystyle A_{2,2}=0}$。[1]^:205