曲率形式

若 ${\displaystyle E\to B}$ 是一个纤维丛，其结构群为 G，我们可以在相伴的主 G-丛上重复同样的定义。

若 ${\displaystyle E\to B}$ 是一个向量丛则我们可以把 ${\displaystyle \omega }$ 看作是 1-形式的矩阵，则上面的公式取如下形式：

${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,}$

其中 ${\displaystyle \wedge }$ 是楔积。更准确地讲，若 ${\displaystyle \omega _{j}^{i}}$ 和 ${\displaystyle \Omega _{j}^{i}}$ 分别代表 ${\displaystyle \omega }$ 和 ${\displaystyle \Omega }$ 的分量（所以每个 ${\displaystyle \omega _{j}^{i}}$ 是一个通常的 1-形式而每个 ${\displaystyle \Omega _{j}^{i}}$ 是一个普通的2-形式），则

${\displaystyle \Omega _{j}^{i}=d\omega _{j}^{i}+\sum _{k}\omega _{k}^{i}\wedge \omega _{j}^{k}.}$

例如，黎曼流形的切丛，我们有 ${\displaystyle O(n)}$ 作为结构群而 ${\displaystyle \Omega _{}^{}}$ 是在 ${\displaystyle o(n)}$ 中取值的 2-形式（给定标准正交基，可以视为反对称矩阵）。在这种情况，${\displaystyle \Omega _{}^{}}$ 是曲率张量的一种替换表述，也就是在曲率张量的标准表示中，我们有

${\displaystyle R(X,Y)Z=\Omega _{}^{}(X\wedge Y)Z.}$

上式使用了黎曼曲率张量标准记号。