埃雷斯曼联络

微分几何中经典的协变导数是一个线性微分算子，它以协变的方式取向量丛中截面的方向导数，也能用來闡述在 在特定向量方向上叢中截面為平行的概念：截面s沿着向量V平行，如果∇_Vs = 0。所以一个协变导数提供了两个觀念：微分算子以及各个方向上的平行。埃雷斯曼联络[1]完全放弃了微分算子，并用截面在各个方向平行的含义来公理化一个联络。精确一点讲，埃雷斯曼联络將纤维丛中的切丛的某些子空间指定为「水平空间」。如果 ds(V )处于水平空间中，則截面 s 是在 V 方向上是水平的（也即平行的）。在这里，我们把 s 視为从底空间 M 映射到向量丛 E 的函数 s : M → E ，且 ds : TM → s*TE 是向量的前推。水平空间组成 TE 的一个子向量丛。

如此一來直接的好处是它可以用于比向量丛一般得多的场合。特别是，它对于一般的纤维丛都是有定义的。而且，很多协变导数的特色得到了保留：平行移动，曲率和和樂。

然而此定義除了线性之外還失去了协变性。在经典协变导数中，协变性乃是導數的后验特性。在构造過程中，要先指定「非协变」克氏记号的变换法则，才能給出符合协变的导数。對埃雷斯曼联络而言，可藉由引入作用在纤维丛裡纤维上的李群，来强加一个推广的协变原则。恰当的条件就是要求水平空间在某种意义下对应于群作用等变。

埃雷斯曼联络的点睛之笔是它可以表達为一个微分形式，和联络形式的情況類似。若一个群作用在纤维上，并且联络等变，则该形式也是等变的。而且，该联络形式也允許用曲率形式來定義曲率。

令π : E → M为纤维丛[2]。E上的埃雷斯曼联络由如下数据组成：

1. 对于每一点x ∈ E，给定E在x点的切空间向量子空间 H_x ⊂ T_xE。H_x称为x点的水平空间。
2. 随着x的变化，H_x必须定义出一个E的切丛的光滑子丛。（特别是，H必须有常数维度。）
3. 令V = ker(dπ : TE → TM)为由所有沿着E的纤维方向的切向量组成的铅直丛。则H_x ∩ V_x = {0} 对于x ∈ E成立。
4. 任何E的切向量必须可以分解为水平和铅直分量: TE = H + V。（特别是，根据上面第3条，这是一个直和分解。）

用更加看似深奥的术语来讲，满足属性1－4的这样的一个对水平空间的设定，精确地对应于给定一个射丛 JE → E的光滑截面。

等价的有，令Φ为到铅直丛V的投影。这可以由上述TE到水平和铅直分量的直和分解得到。则Φ满足：

1. Φ² = Φ
2. Φ : TE → V是一个丛的满射。

反过来，若Φ是满足1和2的向量丛映射，则H = ker Φ定义了上述的一个埃雷斯曼联络的结构。

对于主G-丛 ${\displaystyle E\to B}$，每个${\displaystyle x\in E}$，令${\displaystyle T_{x}(E)}$代表在x的切空间，用 ${\displaystyle V_{x}}$代表和纤维相切的铅直子空间。则联络是对${\displaystyle T_{x}(E)}$的水平子空间 ${\displaystyle H_{x}}$的指定，并要满足

1. ${\displaystyle T_{x}(E)}$是${\displaystyle V_{x}}$和${\displaystyle H_{x}}$的直和，
2. ${\displaystyle H_{x}}$的分布在G在E上的作用下不变，也即${\displaystyle H_{ax}=D_{x}(R_{a})H_{x}}$对于任何${\displaystyle x\in E}$

和${\displaystyle a\in G}$成立，这里${\displaystyle D_{x}(R_{a})}$代表a在x的群作用的微分。

1. 分布${\displaystyle H_{x}}$光滑地依赖于x。

使用射丛 ${\displaystyle JE\rightarrow E}$可以更加优美地表达这个定义。指定水平空间无非就是指定该射丛的一个光滑截面。

G的单参数子群铅直作用于E上。该作用的微分允许我们可以讲子空间${\displaystyle V_{x}}$和G群的李代数g等同起来，譬如通过映射${\displaystyle \iota :V_{x}\to g}$。 然后，联络形式就是${\displaystyle E}$上的在g中取值的微分形式${\displaystyle \omega }$，其定义为${\displaystyle \omega (X)=\iota \circ v(X)}$ 其中${\displaystyle v}$代表在${\displaystyle x\in E}$的从${\displaystyle X\in T_{x}}$到${\displaystyle V_{x}}$的投影，且其核空间为${\displaystyle H_{x}}$。

联络形式满足如下两个属性：

• 联络在G作用下等变：${\displaystyle R_{h}^{*}\omega ={\hbox{Ad}}(h^{-1})\omega }$ 对于所有h∈G成立。
• 联络将铅直向量场映射为相应的李代数的元素：${\displaystyle \omega (X)=\iota (X)}$对于所有X∈V成立。

反过来，可以证明这样一个g-值1－形式在一个主丛上产生一个水平分布，满足前面所说的属性。

给定一个局部平凡化，可以将${\displaystyle \omega }$（在该平凡化中）简化为水平向量场。它通过拉回在B上定义了一个形式${\displaystyle \omega '}$。该形式${\displaystyle \omega '}$完全确定了${\displaystyle \omega }$，但是它依赖于平凡化的选择。（这个形式经常也称为联络形式并也记为${\displaystyle \omega }$。）

1. Ehresmann, C. "Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable", Colloque de Toplogie, Bruxelles (1950) 29-55.
2. 这在更一般的情况也成立，这种情况下π:E→M是一个满 浸入: 也即，E是一个M上的纤维化流形。
3. 埃雷斯曼联络的和乐群有时称为埃雷斯曼－瑞布和乐群（Ehresmann-Reeb holonomy）或者叶和乐群，参看瑞布首次使用埃雷斯曼联络研究叶状结构的文章：Reeb, G. Sur Certaines Proprietes Topologiques des Varietes Feuilletees, Herman, Paris, 1952.

• Bott, R. (1970) "Topological obstruction to integrability", Proc. Symp. Pure Math., 16 Amer. Math. Soc., Providence, RI.

• 嘉当联络
• 仿射联络
• 曲率形式