积空间

拓扑学的相关领域中,积空间是指一族拓扑空间笛卡儿积與其配备的自然拓扑结构,這個自然拓扑结构被稱為积拓扑英語:)。

無窮積空間

直觀動機上,一族拓扑空间笛卡儿积,最「自然」的拓撲,應該是使投影映射都是連續函數的最粗拓撲;換句話說,設有集合族 ,具有指標集 與指標函數

且有相應的一族拓扑 與指標函數

就是无穷乘积 滿足需求的那個拓撲,那對於任意指標 ,以下的第 投影映射:

必須對所有開集 須滿足:

也就是說, 必須 - 连续

首先從 的定義,對任意 有:

那如果取個一對一函數 滿足:

那以上的要求就可以寫為:

也就是除了 取小開集,其他都選全集的無窮乘積,應該也要是 的開集。所以目標所求的最「自然」的拓撲 ,應該是包含:

最粗拓撲,總結如下:

定義  設有集合族 ,具有指標集 與指標函數

且有相應的一族拓扑 與指標函數

取:

那在 上包含 最粗拓撲 被稱為 積拓撲,而 被稱為相應的積空間

有限積空間

如果指标集为有限,则积拓扑有更简单的表述;這是因為可以免除用函数定義无穷乘积的迂迴途徑,而且還可以應用開集的有限交集為開集的特性。以下仿造上面無窮積空間一節來炮製更簡明的有限积拓扑

都是拓扑空间,若對任意自然数指標 來說,以下的投影映射

對於 上的「自然拓扑 ,取任意開集 應滿足:

也就是說, 都應 - 连续。那從 的定義,對任意 有:

換句話說,這個「自然拓撲」必須滿足:

那稍微推廣一下,對任意滿足以下條件的一對一有限開集序列

要求:

那因為 (母集合當然是開集合),這樣要求的確可以推得稍早要求的「自然拓撲」條件;反過來,因為:

所以根據開集的有限交集也是開集的性質,「自然拓撲」條件也可以得到剛剛的推廣要求。綜上所述,可以作如下的定義:

定義   都是拓扑空间,取:

那在 上包含 最粗拓撲 被稱為 有限積拓撲,而 被稱為相應的有限積空間

例子

实直线R上的标准拓扑开始,定义nR的乘积,就得到普通的Rn上的欧几里得拓扑

康托尔集同胚可数离散空间{0,1}的乘积而无理数的空间同胚于可数个自然数集的乘积,每个集合也是采用离散拓扑。

性質

如果 B1,B2,...,Bn 是拓撲 T1,T2,...,Tn 的基,則集合積 B1 × B2 × ... × Bn乘積拓撲 T1 × T2 × ... × Tn 的基。在無限乘積的情況下這仍適用,除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。

乘积空间X加上标准投影,可以用如下的泛性质来刻划:若Y是拓扑空间,并且对于每个I中的ifi : YXi是一个连续映射,则存在恰好一个连续映射f : YX满足对于每个I中的i如下交换图成立:

乘积空间的特性
乘积空间的特性

这表明乘积空间是拓扑空间范畴中的。从上述泛性质可以得出映射f : YX连续当且仅当fi = pi o f对于所有I中的i连续。在很多情况下,检查分量函数fi的连续性更为方便。检验映射f : YX是否连续通常更难;可以试着用某种方式利用pi连续这一点。

除了连续,标准投影pi : XXi也是开映射。这表示每个积空间的开子集投影到Xi上还是开集。反过来不真:若W是到所有Xi的投影都是开集的积空间的子空间,则W不一定是X中的开集。(例如,W = R2 \ (0,1)2.)标准投影通常不是闭映射

积拓扑有时称为点式收敛拓扑,因为:X上的一个序列 (或者)收敛当且仅当它所有到Xi的投影收敛。特别是,如果考虑所有在空间X = RI 对于所有I上的函数,在积拓扑上的收敛就是函数的点式收敛。

积拓扑的一个重要定理就是吉洪诺夫定理:任何紧致空间的乘积是紧致的。对于有限乘积很容易證明,而其一般情况等价于选择公理

和其它拓扑概念的联系

  • 可分离性
  • 紧致性
  • 连通性
    • 每个连通(路径-连通)空间是连通的(路径-连通的)。
    • 每个遗传性不连通空间的积是遗传性不连通的。

每个"局部看起来"一个标准投影F × UU的空间称为纤维丛

参看

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