泰勒斯定理

以下證明主要使用兩個定理：

• 三角形的內角和等於180°
• 等腰三角形的兩個底角相等

設O為圓心，因為OA = OB = OC，所以△OAB和△OBC都是等腰三角形。因為等腰三角形底角相等，故有∠OBC = ∠OCB，且∠BAO = ∠ABO。設α = ∠BAO，β = ∠OBC。在△ABC中，因为三角形的内角和等于180°，所以有

${\displaystyle \alpha +\left(\alpha +\beta \right)+\beta =180^{\circ }}$

${\displaystyle {2}\alpha +{2}\beta =180^{\circ }}$

${\displaystyle {2}(\alpha +\beta )=180^{\circ }}$

${\displaystyle \therefore \angle ABC=\alpha +\beta =90^{\circ }.}$

泰勒斯定理也可以用三角学方法证明，证明如下：

令O =（0, 0）, A =（-1, 0）, C =（1, 0）。此时，B就是单位圆${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$上的一点。我们将通过证明AB与BC 垂直，即它们的斜率之积等于–1，来证明这个定理。计算AB和BC的斜率：

${\displaystyle m_{AB}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}}$

${\displaystyle m_{BC}={\frac {y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}}$

并证明它们的积等于–1:

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\=&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}\\=&{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta -1}}\\=&{\frac {\sin ^{2}\theta }{-\sin ^{2}\theta }}\\=&-1\end{aligned}}}$

注意以上证明过程中运用了毕达哥拉斯三角恒等式${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$。

此證明使用兩線的向量形成直角三角形，若且唯若其內積為零。設有直角三角形ABC，和以AC為直徑的圓O。設O在原點，以方便計算。则AB和BC的內積為：

${\displaystyle (A-B)\cdot (B-C)=(A-B)\cdot (B+A)=|A|^{2}-|B|^{2}=0}$

${\displaystyle |A|=|B|}$

故A和B與圓心等距，即B在圆上。