混合图

例如右图，我们可用于混合图的k着色方式为 ${\displaystyle \{1,2,3\}}$。由于 ${\displaystyle u}$ 和 ${\displaystyle v}$ 之间有边连接，他们必须用不同颜色进行标记(如将${\displaystyle u}$ 和 ${\displaystyle v}$ 分别标记为1和2)。 ${\displaystyle v}$ 和${\displaystyle w}$之间为有向边连接，因此箭头后端${\displaystyle v}$的颜色标记必须小于箭头前段${\displaystyle w}$的颜色标记。

混合图的k着色方式是一个函数。

${\displaystyle c:V\rightarrow [k]}$

其中${\displaystyle [k]={1,2,\dots ,k}}$，当${\displaystyle uv\in E}$（无向边）时${\displaystyle c(u)\neq c(v)}$，当${\displaystyle {\overrightarrow {uv}}\in A}$（有向边）时${\displaystyle c(u)\leq c(v)}$。[1]再回到实例中，这意味着我们可以将有向边的前端和后端 ${\displaystyle (v,w)}$均标记为正整数2。

假设混合图为G，能否做到将其完全着色是不确定的。为了使混合图有一个k着色方式，图中不能包含任何有向循环。[2] 如果这样的k着色方式存在，那么我们为了给整个图着色的最小着色数（k值）可记为${\displaystyle \chi (G)}$。[2] 我们可以通过构建k的多项式函数来计算合理的k着色方式的数量，其被称为图G的着色多项式（可用无向图的着色多项式来类比），其定义式为${\displaystyle \chi _{G}(k)}$。[1]

塔特多项式中的删除–收缩方法可用于计算弱色多项式的混合图。这个方法涉及删除(或移除)有向或无向边，合并（或关联）与该无向或有向边相连的其余顶点形成一个顶点。[4] 在删除无向边${\displaystyle e}$之后，从之前的混合图 ${\displaystyle G=(V,E,A)}$ 可得到新的混合图 ${\displaystyle (V,E-e,A)}$。[4] 可将删除无向边${\displaystyle e}$之后剩余的边表示为 ${\displaystyle G-e}$。类似地，在删除有向边${\displaystyle a}$之后，将剩余的边表示为${\displaystyle G-a}$，可获得新的混合图${\displaystyle (V,E,A-a)}$。[4] 同样，我们可以将合并${\displaystyle e}$和${\displaystyle a}$分别表示为${\displaystyle G/e}$ 和 ${\displaystyle G/a}$。[4] 根据以上给出的条件，我们得到以下方程来计算混合图的着色多项式：[4]

1. ${\displaystyle \chi _{G}(k)=\chi _{G-e}(k)-\chi _{G/e}(k)}$,[5]
2. ${\displaystyle \chi _{G}(k)=\chi _{G-a}(k)+\chi _{G/a}(k)-\chi _{G_{a}}(k)}$.[5]

混合图可用于对车间调度问题进行建模，例如在一定的时间限制下执行一系列任务的问题。在这类问题中，无向边可用于设定两个任务不兼容(不能同时执行)的约束。有向边可用于优先级约束，即其中一个任务必须先于另一个任务执行。用这种方法从调度问题的角度定义的图称为析取图。混合图着色问题可用于规划执行所有任务的最小长度。[2]

混合图也用作贝叶斯推理的概率图模型。下文中无环混合图(没有有向边循环的图)也称为链图。这些图的有向边用来表示两个事件之间的因果关系，其中第一个事件的结果影响第二个事件的概率。相反的是，无向边则表示两个事件之间的非因果关系。链图的无向子图的连通分量称为链。一个链图可以通过构造它的道德图从而转化为一个无向图，链图可以在其含有同一链的顶点对之间添加无向边，然后忽略有向边的方向从而形成无向图。