混合系統

彈跳球屬於有碰撞的物理系统，混合系統中的經典範例。在此例中，球（以點狀質量表示）由啟始高度掉到地面彈跳，每一次的彈跳都會耗散能量。球在每一次彈跳之間都是連續的動態特性，當球碰到地面時，因為非弹性碰撞，球的速度會有離散的變化。彈跳球的數學模型如下：令${\displaystyle x_{1}}$是球的高度，${\displaystyle x_{2}}$是球的速度，其混合系統如下：

當${\displaystyle x\in C=\{x_{1}>0\}}$，「流」的統御方程為 ${\displaystyle {\dot {x_{1}}}=x_{2},{\dot {x_{2}}}=-g}$, 其中${\displaystyle g}$為因為重力而有的加速度，上述方程指出，若球在地面之上，最終會因為重力而掉到地面。

若${\displaystyle x\in D=\{x_{1}=0\}}$，「跳躍」的統御方程為 ${\displaystyle x_{1}^{+}=x_{1},x_{2}^{+}=-\gamma x_{2}}$, 其中${\displaystyle 0<\gamma <1}$為耗散係數。方程式是當高度為零（和地面碰撞）時，其速度符號會相反，且會以${\displaystyle \gamma }$的比例減少。這也是非弹性碰撞的特性。

彈跳球系統的特點是有Zeno行為。Zeno行為有嚴格的數學定義，可以大致描述為系統在有限時間內進行了無限次的「跳躍」。在此例中，彈跳球每次碰到地面，就會損失能量，因此之後碰到地面的時間間隔也就會越來越接近。