混沌理论

1963年美国气象学家愛德華·勞侖次提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了決定系统可能产生隨機结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在气象、航空及航天等领域的研究裡有重大的作用。 洛伦兹教授在整个职业生涯中，共撰写了61篇研究论文，其中58篇为其独作。[42]从1960年在日本召开的会议开始，洛伦兹踏上了开发各种模型的历程，试图揭示SDIC和混沌特征。最近对洛伦兹从1960年到2008年的模型[43][44]进展的回顾显示，他善于利用各种物理系统来说明混沌现象，如准地转系统、恒涡度方程、瑞利-贝纳德对流方程和浅水方程等，此外还较早应用了逻辑斯蒂映射探索混沌解，这是他领先于同行取得的里程碑式成就（如Lorenz 1964[45]）。

用于生成y变量曲线图的洛伦兹方程。x与z的初始条件保持不变，但y的初始条件在1.001、1.0001、1.00001之间变化。${\displaystyle \rho }$、${\displaystyle \sigma }$、${\displaystyle \beta }$的值分别为45.92、16、4 。从图中可以看出，即使是最细微的差别，也会在大约12秒后发生显著变化，这就是对初始条件敏感的一个例子。

对初始条件的敏感性意味着，混沌系统中的每对极相近的点，会有大相径庭的轨迹；当前轨迹的任意微小变化都会导致未来行为的显著不同。[52]

这种性质通常称作“蝴蝶效应”，源于爱德华·洛伦兹在美国科学促进会上发表的《可预测性：巴西的蝴蝶扇动翅膀会引发德克萨斯州的龙卷风吗？》（1972）。[53]蝴蝶扇动翅膀代表系统初始条件的微小变化，引发了一连串现象，其出现完全无法预测。倘若蝴蝶没有扇动翅膀，整个系统的轨迹都会大不相同。

正如洛伦兹在《混沌的本质》（1993）中所写：[54]“敏感依赖性可以作为混沌的一个可接受定义。”为说明时变路径对初始位置的敏感性，我们建立了一个理想化的滑雪模型。[54]可预测性水平线可以在SDIC开始之前确定（即在附近初始轨迹出现显著分离之前）。[55]

若从有限的系统信息开始（实际情况一般如此），则在一定时间后，系统就不再可预测了。这常见于天气预报，一般只能提前一周左右。[56]这不是说不能对遥远未来的事件做出任何断言，只是说系统存在限制。例如，地表温度不会自然达到100 °C（212 °F）或低于−130 °C（−202 °F）（当前地质年代），但并没有方法推知一年中最热的一天会是哪一天。

李亚普诺夫指数衡量了对初始条件的敏感度，其形式是与扰动的指数发散率。[57]给定相空间中两个无限接近的初值，初始分离度${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}$，两条轨迹最终发散的速度由以下公式给出：

${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|,}$

其中${\displaystyle t}$是时间，${\displaystyle \lambda }$是李亚普诺夫指数。分离率取决于初始分离矢量的方向，因此可能存在完整的李亚普诺夫指数谱。李亚普诺夫指数的个数等于相空间维数，通常仅指最大的一个：最大李亚普诺夫指数（MLE）最常用，反映系统整体的可预测性。系统MLE若为正，则视作处于混沌状态。[58]

除上述特性外，还有其他相关性质，例如测度论混合性（如遍历理论）及K系统的特性。[59]

混沌系统可能具有完全重复的演化变量值序列，从序列任一点出发都会产生周期性行为。但这种周期序列是排斥性的：若演化变量在序列之外，无论多么接近，都不会进入序列，事实上还会偏离。因此，在几乎所有初始条件下，变量都会以非周期性方式混沌演化。

一组状态${\displaystyle [x,y]}$通过逻辑斯蒂映射的6次迭代。第一次（蓝）为初始条件，基本上形成了一个圆。动画显示了圆形为初态的1~6次迭代，可以发现会出现混合现象。第6次迭代中，点几乎完全分散在相空间中。若进一步迭代，混合将是均匀、不可逆的逻辑斯蒂映射方程为${\displaystyle x_{k+1}=4x_{k}(1-x_{k})}$。将其状态空间推广到2维，要创建第二个状态${\displaystyle y}$：${\displaystyle y_{k+1}=x_{k}+y_{k}}$，即${\displaystyle x_{k}+y_{k}<1}$，否则${\displaystyle y_{k+1}=x_{k}+y_{k}-1}$。

x → 4 x (1 – x)与y → (x + y) mod 1定义的映射，也展现出拓扑混合。蓝色在动力作用下首先变为紫色，然后到粉色与红色，最终变为一团散布在空间中的垂直线。

拓扑混合（或较弱的拓扑传递）是指系统相空间的任意给定区域或开集，随时间推移都将与任意给定区域重叠。这种“混合”的概念与标准直觉相对，染料或液体的混合就是一种混沌系统。

混沌的流行说法往往忽略了拓扑混合，认为混沌只等同于对初态的敏感性；但这并不会导致混沌。例如，考虑只会将初值反复加倍的动力系统。它对各处的初值都敏感，因为任意一对邻近的点都会变得相距甚远；但由于没有混合，所以没有混沌。其实它的行为极其简单：除了0之外，所有点都趋于无穷大。

若对任意一对非空开集${\displaystyle U,V\subset X}$，都${\displaystyle \exists k>0}$使${\displaystyle f^{k}(U)\cap V\neq \emptyset }$，则称映射${\displaystyle f:X\to X}$具有拓扑传递性。这弱于拓扑混合。直观地说，给定点x与V，则在x附近存在点y，其在拓扑传递映射中的轨道穿过V。这说明，不可能将系统分解为两个开集。[60]

不难看出，稠密轨道意味着拓扑传递性。伯克霍夫传递性定理指出，若X是第二可数完备空间，则拓扑传递性意味着X中存在具有稠密轨道的稠密点集。[61]

具有稠密周期轨道的混沌系统意味着空间中的点都任意接近周期轨道。[60]由x → 4 x (1 – x)定义的1维逻辑斯蒂映射是具有稠密周期轨道的最简单系统之一。例如，${\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$ → ${\displaystyle {\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}$ → ${\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$（或约0.3454915 → 0.9045085 → 0.3454915）是周期为2的（不稳定）轨道，而周期为4、8、16等（实际上是沙尔科夫斯基定理指定的所有周期）也存在类似轨道。[62]

沙尔科夫斯基定理是Li & Yorke[63] (1975)的基础，其证明了任何连续1维系统若表现出周期为3的规则周期，也会表现出其他长度的规则周期以及完全混乱的轨道。

洛伦兹吸引子显示出混沌行为。这两幅图显示了吸引子所占据的相空间区域内初始条件的敏感性。

x → 4 x (1 – x)定义的1维逻辑斯蒂映射之类的动力系统在任何地方都是混沌的，但很多时候混沌仅见于相空间的子集。混沌发生在吸引子上时，大量初始条件都将使轨道向混沌区域收敛。[64]

直观显示混沌吸引子的简单方法，是从吸引盆地的某点开始，绘制之后的轨道。由于拓扑传递，很可能产生整个最终吸引子的图像。右图由简单的洛伦兹天气系统3维模型产生，都显示了洛伦兹吸引子的大致形状，可能是最著名的混沌系统图示之一，因为它不仅早，也是最复杂的混沌系统图之一，产生了非常有趣的模式。只要稍加想象，就能看到像蝴蝶翅膀一样的图案。

不同于定点吸引子与极限环，混沌系统产生的奇异吸引子具有很强的细节性与复杂性。它出现在连续动力系统（如洛伦兹系统）和一些离散系统（如厄农映射）。其他离散动力系统有一种称为朱利亚集的排斥结构，形成于定点吸引盆地之间的边界，可视为奇异吸引子。奇异吸引子具有分形结构，可以计算分形维度。

广义洛伦兹模型中的共存吸引子与非混沌吸引子。[65][66][67]从0.625至5之间的无量纲时间和加热参数r = 680的不同初始条件开始，共有128条不同颜色的轨道。混沌轨道附近会反复回到原点的鞍点附近。非混沌轨道最终接近两个稳定点之一，如蓝色大点所示。混沌与非混沌轨道在相空间中占据不同的吸引区。

最近对洛伦兹模型[68][69]的研究强调了多类解的重要性：相同的建模配置与不同的初始条件下，同一模型（如双摆系统）可能会出现混沌与非混沌共存的现象。经典与广义洛伦兹模型得到的吸引子共存结论[65][66][67]反映“整个天气系统具有混沌和有序的双重性质，具有明显的可预测性”，这与传统的“混沌天气”观点截然不同。

逻辑斯蒂映射x → r x (1 – x)的分岔图。垂直切片对应r值的吸引子。随着r增加，周期加倍，最终产生混沌。越暗的点被访问的频率越高。

逻辑斯蒂映射之类的离散混沌系统，无论维度如何，都会表现出奇异吸引子。具有抛物线最大值和费根鲍姆常数${\displaystyle \delta =4.669201...}$,${\displaystyle \alpha =2.502907...}$[70][30]的1维映射的普遍性在作为离散激光动力模型提出的Tahn映射上清晰可见： ${\displaystyle x\rightarrow Gx(1-\mathrm {tanh} (x))}$, 其中${\displaystyle x}$表示电场振幅，${\displaystyle G}$[71]为激光增益分岔参数，在区间${\displaystyle [0,\infty )}$内的逐渐增大会使动力从规则变为混沌，[72]分岔图与逻辑斯蒂映射的分岔图具有相同性质。

而连续动力系统，庞加莱-本迪克松定理表明只有在3维及更高维才会出现奇异吸引子。有限维线性系统永远不会出现混沌，非线性或无限维系统才可能出现混沌。

庞加莱-本迪克松定理指出，二维微分方程具有非常规则的行为。下面讨论的洛伦兹吸引子由以下3个微分方程的系统产生：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、${\displaystyle z}$构成系统状态，${\displaystyle t}$是时间，${\displaystyle \sigma }$、${\displaystyle \rho }$、${\displaystyle \beta }$是系统参数。右侧5个项是线性的，2个是二次项，共有7项。另一个著名的混沌吸引子由若斯叻方程产生，7个项中只有1个非线性项。Sprott[73]发现了一个只有5项的3维系统，只有1个非线性项，在某些参数值下表现出混沌。Zhang & Heidel[74][75]证明，对耗散与保守型的二次系统来说，右边只有3、4项的3维二次系统不会表现出混沌行为。原因很简单：此类系统的解是二维曲面的渐近，因此解表现良好。

庞加莱-本迪克松定理指出，欧氏平面上的连续动力系统不会是混沌的，非欧几何的2维连续动力系统则有可能。[76]不过，只要是无限维线性系统，也可能出现混沌。[77]数学分析的一个分支——泛函分析正在发展线性混沌理论。

上面优雅的三个常微分方程被称为3维洛伦兹模型。[78]1963年以来，许多研究[79][80][65][66]开发了更高维的洛伦兹模型，用于研究非线性程度的增加及其与加热、耗散的共同作用对去稳定的影响。

耦合离散映射的直接推广[81]基于卷积积分，其介导了空间分布映射之间的相互作用： ${\displaystyle \psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}}$,

其中的核${\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)}$是作为相关物理系统的格林函数导出的传播器，[82] ${\displaystyle f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]}$可能是类似${\displaystyle \psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]}$的逻辑斯蒂映射或复映射。复映射的例子是朱利亚集${\displaystyle f[\psi ]=\psi ^{2}}$或池田映射${\displaystyle \psi _{n+1}=A+B\psi _{n}e^{i(|\psi _{n}|^{2}+C)}}$。考虑波长为${\displaystyle \lambda =2\pi /k}$、距离为${\displaystyle L=ct}$的波传播问题时，核${\displaystyle K}$可能具有薛定谔方程的格林函数形式：[83][84]

${\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]}$.

急动度是位置向量相对于时间的三阶导，因此微分方程的形式为

${\displaystyle J\left({\overset {...}{x}},{\ddot {x}},{\dot {x}},x\right)=0}$

有时也被称为急动方程。研究表明，急动方程等价于3个1阶普通非线性微分方程组，从某种意义上说是能产生混沌解的最小设置，激发了学界对急动系统的兴趣。涉及4阶及以上导数的系统相应地被称为超急动系统。[85]

急动系统的行为由急动方程决定，对部分急动方程，简单的电子电路就能模拟解，称作急动电路，其可能出现混沌行为。

洛伦兹吸引子和若斯叻吸引子等著名混沌系统，传统上即描述为由3个1阶微分方程组成的系统，可以组合成单一的（相当复杂）急动方程。急动方程的另一个例子是：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}x}{\mathrm {d} t^{3}}}+A{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}-|x|+1=0.}$

其中A是可调参数。此方程在A=3/5时有一个混沌解，可用下面的急动电路实现；所需的非线性由2个二极管产生：

电路中，除${\displaystyle R_{A}=R/A=5R/3}$外，所有电阻、电容的大小都相等。主频为${\displaystyle 1/2\pi RC}$；运算放大器 0的输出对应x变量，1的输出对应x的一阶导，2的输出对应二阶导。

类似电路只需要一个二极管[86]或根本不需要二极管。[87]

也可见蔡氏电路，是混沌真随机数发生器的基础之一。[88]

混沌理论在密码学中的应用已有多年。过去几十年中，混沌与非线性动力学已用于涉及数百种加密基元，涉及算法有图像加密、哈希函数、CSPRNG、流密码、数字水印及隐写术。[108]它们大多基于单模混沌映射，很大一部分用混沌映射的控制参数与初始条件为密钥。[109]更广地看，在不失一般性的前提下，混沌映射与密码系统的相似，是设计混沌密码算法的主要动机。[108]对称密钥加密即依赖于混沌理论模拟的混淆与扩散。[110]DNA运算与混沌理论相结合，提供了一种加密图像等信息的方法。[111]许多DNA-混沌加密算法都被证明不安全，或者效率不高。[112][113][114]

机器人学是最近受益于混沌理论的另一个领域。混沌理论主要用于预测建模，而非让机器人通过试错与环境互动。[115]被动行走的两足机器人也表现出了混沌动力。[116]

这一百多年，生物学家都在试图用人口模型追踪不同物种的种群变化。大多数模型都是连续的，但最近在特定种群中，已经有混沌模型的实现。[117]例如，对加拿大猞猁模型的研究表明，种群增长存在混沌行为。[118]渾沌理論最成功的應用之一即在于生態學中的洛特卡－沃爾泰拉方程，在其中顯示了受密度制約之下的種群增長如何引致混沌狀態。

水文学之类的生态系统中也存在混沌现象，虽然其模型有不足之处，但通过混沌理论的视角观察数据，仍有很多值得学习的东西。[119]另一个生物学应用是胎心分娩力描记法。胎儿监护需要一种微妙的平衡，要尽可能无创地获得精确信息。混沌建模可获得宫内缺氧的更好模型。[120]

正如Perry指出的，理论生态学中混沌时间序列的建模得益于约束条件。[121]^:176,177真实的混沌与模型特有的混沌的区分往往有潜在困难，[121]^:176,177因此直接的约束条件和/或用于比较的重复时序数据都有助于约束模型，使其更接近现实，例如Perry & Wall 1984。[121]^:176,177基因对基因的共同演化有时会显示出混沌的基因频率动态。[122]增加变量会加剧这种情况：在含额外变量的演化模型中，混沌会更常见，以反映真实种群的更多方面。[122]Robert M. May本人也做过一些农作物共同进化的基础研究，反过来又塑造了整个领域。[122]即使是在稳定的环境中，仅仅将一种农作物与一种病原体结合起来，也可能导致病原体总体的准周期或混沌震荡。[123]^{（p. 169）}

混沌理论也有可能改进经济模型，但预测经济系统的健康状况，及分析影响最大的因素是极其复杂的任务。[124]经济金融体系与经典自然科学体系有着本质区别：前者本质上是人际相互作用的随机结果，纯确定性模型不可能准确反映数据。检验经济与金融学中的混沌的实证文献得出的结果相当不一致，部分原因是混淆了对混沌的特定检验和对非线性关系的更一般检验。[125]

经济学中可以通过递归量化分析发现混沌现象。事实上，Orlando et al.[126]通过所谓递推量化相关指数，发现了时序中的隐藏变化。然后，采用相同技术检测层流（规则）到湍流（混沌）阶段的过渡及宏观经济变量之间的差异，并突出经济动态的隐藏特征。[127]最后，混沌理论有助于建立经济运行模型，以及嵌入COVID-19等外部事件造成的冲击。[128]

管理運籌學領域的許多混沌系統，如排隊系統、庫存系統、計劃調度系統等的主要特點是在不同的管理決策規則下，隊列、庫存和計劃調度的混亂。 Murphy以混沌理論為模型，研究公共關係管理中的問題和危機。 Joseph在總結混沌管理的研究現狀後指出，混沌管理依賴於變化規則，變化規則是基於有序或無序變化、適應性、新的有序出現過程的一套規則。[129]

混沌控制由狄透（William Ditto）、賈芬卡（Alan Garfinkel）、約克（Jim Yorke），將此想法化為實用技術，用微小的變化開始，造成希望所想的巨大改變。

化学中，预测气体溶解度对生产聚合物至关重要，但使用粒子群优化（PSO）的模型往往会收敛到错误的点上。一种改进的PSO引入了混沌理论，避免了模型陷入困境。[130]天体力学中，尤其是观测小行星时，混沌理论可以更好预测它们何时会接近行星。[131]冥王星的5颗卫星中有4颗以混沌方式旋转。量子力学和电气工程中，对约瑟夫森效应大型阵列的研究极大受益于混沌理论。[132]煤矿常发生瓦斯泄漏，导致大量伤亡。直到最近，还没有可靠方法来预测，但它们具有混沌趋势。如果模型建立得当，可以相当准确地预测。[133]

混沌理论可用于自然科学以外的领域，但历史上几乎所有此类研究都缺乏可重复性、外部有效性差、和/或不注重交叉验证，导致预测准确性差。Glass[134]、Mandell & Selz[135]发现，迄今还没有任何EEG研究表明存在奇异吸引子或其他混沌行为的迹象。

混沌理论在心理学亦有应用。例如，在模拟群体行为时，特殊成员可能分享威尔弗雷德·鲁普莱希特·比昂理论中的基本假设。研究人员发现，群体动态是个体动态的结果：每个个体以不同尺度再现群体动态，群体的混沌反映在每个成员身上。[136]

刊物文章

• 郝柏林：《分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它》，《物理学进展》，1983， 3（01）.
• 朱照宣：《非线性动力学中的浑沌》，《力学进展》，1984， （02）.

书籍

• 苗东升、刘华杰：《浑沌学纵横论》，北京：中国人民大学出版社，1992，1993.
• 刘华杰：《浑沌语义与哲学》，长沙：湖南教育出版社，1998.