测度

若照著上述定義，根據可数可加性，不少母集合本身的測度值會變成无穷大（如對 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ 本身取勒贝格测度），所以實際上不存在。但某些書籍[2]會形式上將无穷大視為一個數，而容許測度取值為無窮大；這樣定義的書籍，會把只容許有限实数值的測度稱為（非負）有限測度。但這樣"定義"，會造成可數可加性與數列收斂的定義產生矛盾。

所以要延續體積是一種＂度量＂的這種直觀概念（也就是嚴謹的定義勒贝格测度），那就必須把σ-代數換成條件比較寬鬆的半集合環，然後以此為基礎去定義一個對應到＂體積＂的前測度。

更進一步的，如果對測度空間 ${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}$ 來說，母集合 ${\displaystyle X}$ 可表示為 ${\displaystyle \Sigma }$ 內的某可測集合序列 ${\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }}$ 的并集：

${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}$

且 ${\displaystyle \mu }$ 只容許取有限值，則 ${\displaystyle \mu }$ 會被進一步的稱為（非負）σ-有限测度。

测度${\displaystyle \mu \ }$的单调性： 若${\displaystyle E_{1}\ }$和${\displaystyle E_{2}\ }$为可测集，而且${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}$，则${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}$。

若${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}\cdots }$为可测集（不必是两两不交的），则集合${\displaystyle E_{n}\ }$的并集是可测的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：

${\displaystyle \mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}$

如果还满足并且对于所有的${\displaystyle n\ }$，${\displaystyle E_{n}\ }$⊆${\displaystyle E_{n+1}\ }$，则如下极限式成立：

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).}$

若${\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots }$为可测集，并且对于所有的${\displaystyle n\ }$，${\displaystyle E_{n+1}\ }$⊆${\displaystyle E_{n}\ }$，则${\displaystyle E_{n}\ }$的交集是可测的。进一步说，如果至少一个${\displaystyle E_{n}\ }$的测度有限，则有极限：

${\displaystyle \mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}$

如若不假设至少一个${\displaystyle E_{n}\ }$的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，令

${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$

这裡，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。