熱傳導方程式

热传导方程（或稱熱方程）是一個重要的偏微分方程，它描述一個區域內的溫度如何隨時間變化。

物理机制

一维热方程图解（观看动画版）

熱傳導在三維的各向同性介質裡的傳播可用以下方程式表達：

{\partial u \over \partial t}=\mathrm {div} (Uu)=k\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}\right)=k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})\quad

其中：

u =u(t, x, y, z)表溫度，它是時間變數t與空間變數(x,y,z)的函數。
${\partial u}$ / ${\partial t}$ 是空間中一點的溫度對時間的變化率。
$u_{xx}$ , $u_{yy}$ 與 $u_{zz}$ 溫度對三個空間座標軸的二次導數。
k是熱擴散率，決定於材料的熱導率、密度與熱容。

熱方程是傅立葉冷卻律的一個推論（詳見條目熱傳導）。

如果考慮的介質不是整個空間，則為了得到方程的唯一解，必須指定u的邊界條件。如果介質是整個空間，為了得到唯一性，必須假定解的增長速度有個指數型的上界，此假定吻合實驗結果。

熱方程的解具有將初始溫度平滑化的特質，這代表熱從高溫處向低溫處傳播。一般而言，許多不同的初始狀態會趨向同一個穩態（熱平衡）。因此我們很難從現存的熱分佈反解初始狀態，即使對極短的時間間隔也一樣。

熱方程也是拋物線偏微分方程最簡單的例子。

利用拉普拉斯算子，熱方程可推廣為下述形式

u_{t}=k\Delta u,\quad

其中的 $\Delta$ 是對空間變數的拉普拉斯算子。

熱方程支配熱傳導及其它擴散過程，諸如粒子擴散或神經細胞的動作電位。熱方程也可以作為某些金融現象的模型，諸如布莱克-斯科尔斯模型與奥恩斯坦-乌伦贝克过程。熱方程及其非線性的推廣型式也被應用於影像分析。量子力學中的薛丁格方程雖然有類似熱方程的數學式（但時間參數為純虛數），本質卻不是擴散問題，解的定性行為也完全不同。

就技術上來說，熱方程違背狹義相對論，因為它的解表達一個「擾動可以在瞬間傳播至空間各處」的情況。擾動在前方光錐外的影響通常可忽略不計，但是若要為熱傳導推出一個合理的速度，則須轉而考慮一個雙曲線型偏微分方程。

以傅立葉級數解熱方程

在理想狀態下一根棍子的熱傳導，配上均勻的邊界條件。

以下解法首先由約瑟夫·傅立葉在他於1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur（中譯：解析熱學）給出。先考慮只有一個空間變數的熱方程，這可以當作棍子的熱傳導之模型。方程式如下：

(1)\ u_{t}=ku_{xx}\quad

其中u = u(t, x)是t和x的雙變數函數。

x是空間變數，所以x ∈ [0,L]，其中L表示棍子長度。
t是時間變數，所以t ≥ 0。

假設下述初始條件

(2)\ u(0,x)=f(x)\quad \forall x\in [0,L]\quad

其中函數f是給定的。再配合下述邊界條件

(3)\ u(t,0)=0=u(t,L)\quad \forall t>0\quad

.

讓我們試著找一個非恆等於零的解，使之滿足邊界條件(3)並具備以下形式：

(4)\ u(t,x)=X(x)T(t).\quad

這套技術稱作分離變數法。現在將u代回方程式(1)，

{\frac {T'(t)}{kT(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.\quad

由於等式右邊只依賴x，而左邊只依賴t，兩邊都等於某個常數− λ，於是：

(5)\ T'(t)=-\lambda kT(t)\quad

(6)\ X''(x)=-\lambda X(x).\quad

以下將證明(6)沒有λ ≤ 0的解：

假設λ < 0，則存在實數B、C使得

X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}

。

從(3)得到

X(0)=0=X(L).\quad

於是有B = 0 = C，這蘊含u恆等於零。

假設λ = 0，則存在實數B、C使得

X(x)=Bx+C.\quad

仿上述辦法可從等式(3)推出u恆等於零。

因此必然有λ > 0，此時存在實數A、B、C使得

T(t)=Ae^{-\lambda kt}\quad

X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x)

。

從等式(3)可知C = 0，因此存在正整數n使得

{\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}

。

由此得到熱方程形如(4)的解。

一般而言，滿足(1)與(3)的解相加後仍是滿足(1)與(3)的解。事實上可以證明滿足(1)、(2)、(3)的解由下述公式給出：

u(t,x)=\sum _{n=1}^{+\infty }D_{n}\left(\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-{\frac {n^{2}\pi ^{2}kt}{L^{2}}}}

其中

D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx

。

推廣求解技巧

上面採用的方法可以推廣到許多不同方程。想法是：在適當的函數空間上，算子 $u\mapsto u_{xx}$ 可以用它的特徵向量表示。這就自然地導向線性自伴算子的譜理論。

考慮線性算子Δ u = u_{x x}，以下函數序列

e_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin {\frac {n\pi x}{L}}

（n ≥ 1）

是Δ的特徵向量。誠然：

\Delta e_{n}=-{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}e_{n}

。

此外，任何滿足邊界條件f(0)=f(L)=0的Δ的特徵向量都是某個e_n。令L²(0, L)表 [0, L]上全體平方可積函數的向量空間。這些函數e_n構成L²(0, L)的一組正交歸一基。更明白地說：

\langle e_{n},e_{m}\rangle =\int _{0}^{L}e_{n}(x)e_{m}(x)dx=\left\{{\begin{matrix}0&n\neq m\\1&m=n\end{matrix}}\right.

最後，序列{e_n}_{n ∈ N}張出L²(0, L)的一個稠密的線性子空間。這就表明我們實際上已將算子Δ 對角化。

非均勻不等向介質中的熱傳導

一般而言，熱傳導的研究奠基於以下幾個原理。首先注意到熱流是能量流的一種形式，因此可以談論單位時間內流進空間中一塊區域的熱量。

單位時間內流入區域 V的熱量由一個依賴於時間的量q_t(V)給出。假設q有個密度Q(t,x)，於是

q_{t}(V)=\int _{V}Q(t,x)\,dx\quad

熱流是個依賴於時間的向量函數H(x)，其刻劃如下：單位時間內流經一個面積為dS而單位法向量為n的無窮小曲面元素的熱量是

\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS

因此單位時間內進入V的熱流量也由以下的面積分給出

q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS

其中n(x)是在x點的向外單位法向量。

熱傳導定律說明溫度對時間的梯度滿足以下線性關係

\mathbf {H} (x)=-\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)

其中A(x)是個3×3實對稱正定矩陣。

利用格林定理可將之前的面積分轉成一個體積分

q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS

=\int _{\partial V}\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS

=\int _{V}\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(t,x)\,dx

溫度在x點對時間的改變率與流進x点所在的無窮小区域的熱量成正比，此比例常數與時間無關，而可能與空間有關，寫作κ(x)。

\partial _{t}u(t,x)=\kappa (x)Q(t,x)\,

將以上所有等式合併，便獲得支配熱流的一般公式。

\partial _{t}u(t,x)=\kappa (x)\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(t,x)

註記：

係數κ(x)是該材料在x點的密度和比熱的积的倒数。

在等方向性介質的情況，矩陣A只是個純量，等於材料的導熱率。

在非等向的情況，A不一定是純量，我們鮮少能明確寫出熱方程的解。然而通常可考慮相應的抽象柯西問題，證明它是適定的，並（或）導出若干定性結果（諸如初始值保持正性、無窮傳播速度、收斂至平衡態或一些平滑化性質）。這些論證通常有賴於單參數半群理論：舉例來說，如果A是個對稱矩陣，那麼由

Au(x):=\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x)

定義的橢圓算子是自伴而且耗散的，因此由譜定理導出它生成一個單參數半群。

粒子擴散

粒子擴散方程

在粒子擴散的模型中，我們考慮的方程涉及

在大量粒子集體擴散的情況：粒子的體積濃度，記作c。或者
在單一粒子的情況：單一粒子對位置的機率密度函數，記作P。

不同情況下的方程式：

c_{t}=D\Delta c,\quad

或者

P_{t}=D\Delta P.\quad

c與P都是位置與時間的函數。D是擴散係數，它控制擴散速度，通常以公尺/秒為單位。

如果擴散係數D依賴於濃度c（或第二種情況下的機率密度P），則我們得到非線性擴散方程。

單一粒子在粒子擴散方程下的隨機軌跡是個布朗運動。

如果一個粒子在時間 $t=0$ 時置於 ${\vec {R}}={\vec {0}}$ ，則相應的機率密度函數具有以下形式：

P({\vec {R}},t)=G({\vec {R}},t)={\frac {1}{(4\pi Dt)^{3/2}}}e^{-{\frac {{\vec {R}}^{2}}{4Dt}}}

它與機率密度函數的各分量 $R_{x}$ 、 $R_{y}$ 和 $R_{z}$ 的關係是：

P({\vec {R}},t)={\frac {1}{(4\pi Dt)^{3/2}}}e^{-{\frac {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}+R_{z}^{2}}{4Dt}}}=P(R_{x},t)P(R_{y},t)P(R_{z},t)

隨機變數 $R_{x},R_{y},R_{z}$ 服從平均數為0、變異數為 $2\,D\,t$ 的正態分佈。在三維的情形，隨機向量 ${\vec {R}}$ 服從平均數為 ${\vec {0}}$ 、變異數為 $6\,D\,t$ 的正態分佈。

在t=0時，上述 $P({\vec {R}},t)$ 的表示式帶有奇點。對應於粒子處在原點之初始條件，其機率密度函數是在原點的狄拉克δ函數，記為 $\delta ({\vec {R}})$ （三維的推廣是 $\delta ({\vec {R}})=\delta (R_{x})\delta (R_{y})\delta (R_{z})$ ）；擴散方程對此初始值的解也稱作格林函數。

擴散方程的歷史源流

粒子擴散方程首先由Adolf Fick於1855年導得。

以格林函數解擴散方程

格林函數是擴散方程在粒子位置已知時的解（數學家稱之為擴散方程的基本解）。當粒子初始位置在原點 ${\vec {0}}$ 時，相應的格林函數記作 $G({\vec {R}},t)$ （t>0）；根據擴散方程對平移的對稱性，對一般的已知初始位置 ${\vec {R}}^{0}$ ，相應的格林函數是 $G({\vec {R}}-{\vec {R}}^{0},t)$ 。

對於一般的初始條件，擴散方程的解可以透過積分分解為一族格林函數的疊加。

舉例來說，設t=0時有一大群粒子，根據濃度分佈的初始值 $c({\vec {R}},0)$ 分佈於空間中。擴散方程的解將告訴我們濃度分佈如何隨時間演化。

跟任何（廣義）函數一樣，濃度分佈的初始值可以透過積分表為狄拉克δ函數的疊加：

c({\vec {R}},t=0)=\int c({\vec {R}}^{0},t=0)\delta ({\vec {R}}-{\vec {R}}^{0})dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0}

擴散方程是線性的，因此在之後的任一時刻t，濃度分佈變為：

c({\vec {R}},t)=\int c({\vec {R}}^{0},t=0)G({\vec {R}}-{\vec {R}}^{0},t)dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0}

在粒子擴散的情形，我們可以將狄拉克δ函數對應的初始條件理解為粒子落在一個已知位置。一般而言，任何擴散過程的解都有這種表法，包括熱傳導或動量的擴散；後者關係到流體的黏性現象。

一維格林函數解列表

以下以簡寫BC代表邊界條件，IC代表初始條件。

{\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\end{cases}}

u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)g(y)\,dy

{\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&\,0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\\u(0,t)=0&BC\end{cases}}

u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right)g(y)\,dy

{\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&\,0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\\u_{x}(0,t)=0&BC\end{cases}}

u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right)g(y)\,dy

{\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=0&IC\end{cases}}

u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)f(s)\,dyds

{\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=0&IC\\u(0,t)=0&BC\end{cases}}

u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dyds

{\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=0&IC\\u(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}

u(x,t)=\int _{0}^{t}{\frac {x}{\sqrt {4\pi k(t-s)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4k(t-s)}}\right)h(s)\,ds

（可能的問題：根據上解，u(0)=0）

{\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\end{cases}}

\quad {u=w+v}

{\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx}\,&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\v(x,0)=0,\,w(x,0)=g(x)\,&IC\end{cases}}

{\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\\u(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}

\quad {u=w+v+r}

{\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx},\,r_{t}=kr_{xx}\,&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\v(x,0)=0,\;w(x,0)=g(x),\;r(x,0)=0&IC\\v(0,t)=0,\;w(0,t)=0,\;r(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}

應用

熱方程在許多現象的數學模型中出現，而且常在金融數學中作為期權的模型出現。著名的布莱克-斯科尔斯模型中的差分方程可以轉成熱方程，並從此導出較簡單的解。許多簡單期權的延伸模型沒有解析解，因此必須以數值方法計算模型給出的定價。熱方程可以用Crank-Nicolson法有效地求數值解，此方法也可用於許多無解析解的模型（詳見文獻Wilmott，1995）。

熱方程在流形上的推廣是處理阿蒂亞-辛格指標定理的主要工具之一，由此也導向熱方程在黎曼幾何中有许多應用。

參見

文獻

Einstein, A. "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen." Ann. Phys. 17, 549, 1905. （页面存档备份，存于）

Wilmott P., Howison S., Dewynne J. (1995)The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction. Cambridge University Press.

L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2.

外部連結

熱方程的推導（页面存档备份，存于）
Linear heat equations （页面存档备份，存于）:邊界值問題的特解 - 來自EqWorld

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