格林公式

设闭区域${\displaystyle D}$由分段光滑的简单曲线 ${\displaystyle L}$围成，函数 ${\displaystyle P(x,y)}$及${\displaystyle Q(x,y)}$在${\displaystyle D}$上有一阶连续偏导数，则有[2][3]

${\displaystyle \iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\oint _{L^{+}}(P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y)}$

其中${\displaystyle L^{+}}$是${\displaystyle D}$的取正向的边界曲线。

此公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线${\displaystyle L}$的曲线积分与${\displaystyle L}$所包围的区域${\displaystyle D}$上的二重积分之间的关系。另见格林恆等式。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。

以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I型的区域，C₂和C₄是竖直的直线。对于II型的区域D，其中C₁和C₃是水平的直线。

如果我们可以证明

${\displaystyle \int _{C}L\,\mathrm {d} x=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A\qquad \mathrm {(1)} }$

以及

${\displaystyle \int _{C}M\,\mathrm {d} y=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} A\qquad \mathrm {(2)} }$

那么就证明了格林公式是正确的。

把右图中I型的区域D定义为：

${\displaystyle D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}$

其中g₁和g₂是区间[a, b]内的连续函数。计算(1)式中的二重积分：

${\displaystyle \iint _{D}\left({\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A}$	${\displaystyle =\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left[{\frac {\partial L(x,y)}{\partial y}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\right]}$
	${\displaystyle =\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,\mathrm {d} x\qquad \mathrm {(3)} }$

现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C₁、C₂、C₃和C₄的并集。

对于C₁，使用参数方程：。那么：

${\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,\mathrm {d} x}$

对于C₃，使用参数方程：${\displaystyle x=x,\,y=g_{1}(x),\,a\leq x\leq b}$。那么：

${\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,\mathrm {d} x}$

沿着C₃的积分是负数，因为它是沿着反方向从b到a。在C₂和C₄上，x是常数，因此：

${\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{C_{2}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=0}$

所以：

${\displaystyle \int _{C}L\,\mathrm {d} x}$	${\displaystyle =\int _{C_{1}}L(x,y)\,\mathrm {d} x+\int _{C_{2}}L(x,y)\,\mathrm {d} x+\int _{C_{3}}L(x,y)\,\mathrm {d} x+\int _{C_{4}}L(x,y)\,\mathrm {d} x}$
	${\displaystyle =-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}[L(x,g_{1}(x))]\,\mathrm {d} x\qquad \mathrm {(4)} }$

(3)和(4)相加，便得到(1)。类似地，也可以得到(2)。

• 高斯公式
• 斯托克斯公式
• 格林函數