狄利克雷定理 (傅里叶级数)

设 ${\displaystyle f}$ 为一个在${\displaystyle \mathbb {R} }$上的周期性的局部可积函数，其周期为${\displaystyle 2\pi }$。给定 ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$，假设有以下条件成立：

1. 函数 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle x_{0}}$ 处有左极限和右极限，分别记为 ${\displaystyle f(x_{0}^{+})}$ 和 ${\displaystyle f(x_{0}^{-})}$。
2. 存在正实数：${\displaystyle \alpha >0}$，使得以下的两个积分收敛：

${\displaystyle \int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}+t)-f(x_{0}^{+})|}{t}}{\mathrm {d} }t,\qquad \int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}-t)-f(x_{0}^{-})|}{t}}{\mathrm {d} }t}$

那么，函数 ${\displaystyle f}$ 的傅里叶级数在${\displaystyle x_{0}}$ 处收敛，并且有：

${\displaystyle \lim \limits _{n}(S_{n}f(x_{0}))={\frac {1}{2}}(f(x_{0}^{+})+f(x_{0}^{-}))}$

定理成立的一个特例是当函数 ${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle x_{0}}$ 处有左导数和右导数的时候，又或者是当函数是分段${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$函数（见光滑函数）的时候。

定理的证明是基于以下事实：傅里叶函数可以通过卷积以及拥有良好性质的三角多项式：狄利克雷核来计算。

${\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}},}$

${\displaystyle S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)D_{n}(x-t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)f(x-t)dt}$

这里使用的是狄利克雷核的第二种形式：

${\displaystyle S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt}$

这种写法接近于使用黎曼-勒贝格定理所需的条件，唯一需要考虑的地方是函数 ${\displaystyle {\frac {f(x-t)}{\sin(t/2)}}}$ 在0附近并不一定可积。但是由于：

${\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\frac {f(x^{+})+f(x^{-})}{2}}}$

存在，可以考虑将区间${\displaystyle [-\pi ,0)}$上的积分用${\displaystyle u=-t}$换元，这样 ${\displaystyle S_{n}(f)(x)}$ 就变成：

${\displaystyle S_{n}(f)(x)=\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt}$

因此：

${\displaystyle S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt-{\frac {1}{2}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)}$

而由于狄利克雷核在区间${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$上的积分平均值是1，也就是说：

${\displaystyle 1={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt=2\cdot {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt}$

因此：

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt\\&-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin {\frac {t}{2}}}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)dt\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)-f(x^{+})-f(x^{-})}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt\end{aligned}}}$

由条件二，以上的积分中可以使用黎曼-勒贝格定理，因此可以对两边求极限，得到：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}(f)(x)={\tilde {f}}(x)}$

• 傅里叶级数
• 狄利克雷核
• 费耶核

1. 狄利克雷, Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données, Journal de Crelle 4 (1829) p. 157-169
2. 若尔当, Sur la série de Fourier, C. R. Acad. Sci. Paris, 92 p 228-230

• （英文）Allan Pinkus,Samy Zafrany. . Cambridge University Press. 1997. ISBN 9780521597715.p.46-52.
• （法文）Jean-Pierre Kahane, Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset. . Cassini. 1998. ISBN 284225001X.