環圖

環可以交疊，或者它們除了單位元之外沒有公共元素。環圖把有價值的環顯示為多邊形。

如果 a 生成 6 階環(或簡稱是 6 階的)，則 a⁶ = e。那么 a² 的冪的集合 {a², a⁴, e} 是也一個環，但這實際上沒有什么新信息。類似的，a⁵ 生成的環和 a 自身生成的環一樣。

所以我們只需要考慮基本的環，即不是其他環的子集的環。它們都生成自某個基本元素 a。給最初群的每個元素一個頂點。對于每個基本元素，連接 e 到 a, a 到 a², ... a^n-1 到 aⁿ, ... 直到回到 e。結果是環圖。

(技術上說，上述描述蘊含了如果 a² = e，a 是 2 階的(對合)，它與 e 連接了兩條邊。習慣上只用一個邊。)

作為群的環圖的一個例子，考慮二面體群 Dih₄。下面左邊是這個群的乘法表，右邊是環圖，其中 e 指示單位元。

二面體群 Dih₄ 的環圖。

o	e	b	a	a2	a3	ab	a2b	a3b
e	e	b	a	a2	a3	ab	a2b	a3b
b	b	e	a3b	a2b	ab	a3	a2	a
a	a	ab	a2	a3	e	a2b	a3b	b
a2	a2	a2b	a3	e	a	a3b	b	ab
a3	a3	a3b	e	a	a2	b	ab	a2b
ab	ab	a	b	a3b	a2b	e	a3	a2
a2b	a2b	a2	ab	b	a3b	a	e	a3
a3b	a3b	a3	a2b	ab	b	a2	a	e

注意環 e, a, a², a³。它可以從乘法表中 a 的連續的冪在事實上表現如此中看出來。反轉情況也為真，換句話說: (a³)²=a², (a³)³=a 而 (a³)⁴=e 。這種表現對於任何群眾任何環都為真 - 環可以按任何方向游歷。

四元群 Q₈ 的環圖。

包含非素數個元素的環將隱含擁有在圖中不連接出來的環。對於上面的群 Dih₄，我們可能想要在 a² 和 e 之間連線；因為 (a²)²=e；但是因為 a² 是一個更大環的一部分，我們不這么做。

在兩個環共享非單位元的元素的時候可能有歧義。比如考慮簡單的四元群，它的環圖展示在右側。在中間行中每個元素在乘以自身的時候都得到 -1 (這里的單位元是 1)。在這種情況下我們可以使用不同顏色追蹤各個環，并且還采用對稱性處理。

如上所述，兩元素的環應該用兩條線連接，通常會縮略為一條線。

兩個不同的群可以有同樣結構的環圖，并只能通過乘積表，或依據群的基本元素標記圖中元素來區分。這個問題可能出現的最低階是下面展示的 16 階的群 Z₂ x Z₈ 和模群的情況。(注意 - 在這些圖中有公共元素的環通過對稱性來區分。)

16 階群 Z₂ x Z₈ 的環圖。

16 階模群的環圖。

Z₂ x Z₈ 的乘法表如下:

• 元素的逆元可以在環圖中識別出來。它是在相反的方向上有相同距離的元素。

特定類型的群有典型的圖:

• 循環群 Z_n 簡單的是一個單一的 n 邊形環，每個元素都是一個頂點。

Z1	Z2	Z3	Z4	Z5	Z6	Z7	Z8

• 在 n 是素數的時候，形如 (Z_n)^m 的群將有 (n^m-1)/(n-1) 個 n 元素環共享單位元。

Z2²	Z2³	Z24	Z3²

• 二面體群 Dih_n 由一個 n 元素環和 n 個 2 元素環構成。

Dih1	Dih2	Dih3	Dih4	Dih5	Dih6	Dih7

• n次对称群，對於任何 n 階的群，n 次對稱群 S_n 都包含一個同構于這個群的子群。因此所有 n 階的群的環圖都是 S_n 的環圖的子圖。

• 小群列表
• 凱萊圖

• （页面存档备份，存于） Cycle graph article on MathWorld

• Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, 1993.