小群列表

下面的數學列表包含著以群同構來分之小階有限群。

這個列表可以被用來決定一個給定的有限群G會同構於哪一種群：首先確定G的階，然後再找下面列表中有相同階的候選群。若知道G為可換與否，某些的候選群便可以立刻被刪掉。為了分別剩下的候選群，可以看給定之群內每個元素的階，並對照候選群內每個元素的階。

術語
  • Zn：其階為n之循環群(通常Cn或Z/nZ之符號也會被使用)。
  • Dihn：其階為2n的二面體群(通常Dn之符號也會被使用，有時則會用D2n)。
  • Sn：n階的對稱群，包含有n!個n個元素的置換。
  • An：n階的交錯群，包含有n!/2個n個元素的偶置換。
  • Dicn：其階為4n的雙循環群。

Zn和Dihn之符號在三維點群Cn和Dn中有著沒有相同符號的優點。其存在著多於此兩類的等距同構群，但這些都有著相同的抽象群類型。

符號G × H表示是兩個群的直積。阿貝爾群和簡單群會加上注釋(對小於60階之群，簡單群會恰好是循環群Zn，其中的n為質數。)下面會以等號(=)來標註同構。

環圖內的單位元素會以黑圓圈來表示。圖環不能唯一地表示一個群之最小階為16。

下面列表中的子群，當然群和群自身並不會被列出來。

小非可換群的列表

另見小阿貝爾群列表和下面合併的列表。

注意如「3×Z2」之標記表示其有3個Z2類型的子群(而不是Z2的一個左陪集)，而其他地方裡的×則表示直積。

階 群 子群 性質 環圖
6 S3 = Dih3 Z3 , 3 × Z2 最小的非可換群
8 Dih4 Z4, 2 × Dih2 , 5 × Z2 非可換
四元群, Q8 = Dic2 3 × Z4 , Z2 非可換；最小的漢彌爾頓群
10 Dih5 Z5 , 5 × Z2 非可換
12 Dih6 = Dih3 × Z2 Z6 , 2 × Dih3 , 3 × Dih2 , Z3 , 7 × Z2 非可換
A4 Z22, 4 × Z3, 3 × Z2 非可換；最小確定拉格朗日定理之相反敘述不是對的群：沒有6階的子群
Dic3 = Z3和Z4的半直積，其中Z4以反演作用於Z3上 Z2, Z3, 3 × Z4, Z6 非可換
14 Dih7 Z7 , 7 × Z2 非可換
16 Dih8 Z8 , 2 × Dih4 , 4 × Dih2 , Z4 , 9 × Z2 非可換
Dih4 × Z2 2 × Dih4 , Z4 × Z2 , 2 × Z23, 7 × Z22 , 2 × Z4 , 11 × Z2 非可換
廣義四元群, Q16 = Dic4   非可換
Q8 × Z2   非可換、漢彌爾頓群
wrong
16階之擬二面體群   非可換
16階之模群   非可換
Z4和Z4的半直和，其中一個以反演作用在另一個上   非可換
由泡利矩陣產生的群   非可換
G4,4   非可換

合併列表
階 群 子群 性質 環圖
1 平凡群 = Z1 = S1 = A2 - 平凡、循环、交错、对称、初等
2 Z2 = S2 = Dih1 - 可換、簡單、最小非當然群
3 Z3 = A3 - 可換、簡單
4 Z4 Z2 可換
克萊因四元群 = Z2 × Z2 = Dih2 3 × Z2 可換、最小非循環群
5 Z5 - 可換、簡單
6 Z6 = Z2 × Z3 Z2 , Z3 可換
S3 = Dih3 Z3 , 3 × Z2 最小非可換群
7 Z7 - 可換、簡單
8 Z8 Z4 , Z2 可換
Z2 ×Z4 2 × Z4 , 3 ×Z2 , Dih2 可換
Z2 × Z2 × Z2 = Dih2 × Z2 7 × Z2 × Z2 , 7 × Z2 可換
Dih4 Z4, 2 × Dih2 , 5 × Z2 非可換
四元群, Q8 = Dic2 3 × Z4 , Z2 非可換、最小漢彌爾頓群
9 Z9 Z3 可換
Z3 × Z3 4 × Z3 可換
10 Z10 = Z2 × Z5 Z5 , Z2 可換
Dih5 Z5 , 5 × Z2 非可換
11 Z11 - 可換、簡單
12 Z12 = Z4 × Z3 Z6 , Z4 , Z3 , Z2 可換
Z2 × Z6 = Z2 × Z2 × Z3 = Dih2 × Z3 3 × Z6, Z3, Dih2, 3 × Z2 可換
Dih6 = Dih3 × Z2 Z6 , 2 × Dih3 , 3 × Dih2 , Z3 , 7 × Z2 非可換
A4 Z22, 4 × Z3, 3 × Z2 非可換；最小確定拉格朗日定理之相反敘述不是對的群：沒有6階的子群
Dic3 = Z3和Z4的半直積，其中Z4以反演作用於Z3上 Z2, Z3, 3 × Z4, Z6 非可換
13 Z13 - 可換、簡單
14 Z14 = Z2 × Z7 Z7 , Z2 可換
Dih7 Z7 , 7 × Z2 非可換
15 Z15 = Z3 × Z5 Z5 , Z3 可換
16 Z16 Z8 , Z4 , Z2 可換
Z24 15 × Z2, 35 × Dih2, 15 × Z23 可換
Z4 × Z22 7 × Z2, 4 × Z4, 7 × Dih2, Z23, 6 × Z4 × Z2 可換
Z8 × Z2 3 × Z2, 2 × Z4, Dih2, 2 × Z8, Z4 × Z2 可換
Z42 3 × Z2, 6 × Z4, Dih2, 3 × Z4 × Z2 可換
Dih8 Z8 , 2 × Dih4 , 4 × Dih2 , Z4 , 9 × Z2 非可換
Dih4 × Z2 2 × Dih4 , Z4 × Z2 , 2 × Z23, 7 × Z22 , 2 × Z4 , 11 × Z2 非可換
廣義四元群, Q16 = Dic4   非可換
Q8 × Z2   非可換、漢彌爾頓群
wrong
16階之擬二面體群   非可換
16階之模群   非可換
Z4和Z4的半直和，其中一個以反演作用在另一個上   非可換
由泡利矩陣產生的群   非可換
G4,4   非可換

小群圖書館

群論電腦代數系統GAP包含著描述了「小」階之群的「小群圖書館」。這些群以同構為分列出。現在，這個圖書館已包含了下列個群：

  • 至多2000階的群，除了1024階的(423 164 062個群)；
  • 55階和74階的群(92個群)；
  • qn×p階的群，其中qn整除28、36、55或74且p為不同於q的任意質數；
  • 因式分解成至多3個質數的群。

它包含著上述的群以電腦上可讀形式顯示之詳盡描述。

這個圖書館由Hans Ulrich Besche、Bettina Eick和Eamonn O'Brien所建構及準備；見http://www.tu-bs.de/~hubesche/small.html。

另見
  • 小拉丁方陣和擬群

外部連結
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