载流子散射

图 1：晶体硅形成不同电子能级的哈里森图。纵轴是能量。 3s 和 3p 轨道在单个硅原子上杂化，这在能量上是不利的，因为两个3s 电子获得的能量多于两个 3p 电子损失的能量。形成有利的二聚体可以促成键的形成（b）和反键（b*）的状态，最终导致净能量降低，随后的原子堆叠形成导带（CB）和价带（VB）。悬挂键态 (db) 相当于缺失的 sp³ 键。

确定悬挂键能级的一种更简单、更定性的方法是使用哈里森图。 [12][13] 金属具有非定向性和较小的德拜长度，由于其带电性，即可认为悬挂键即使存在也无关紧要。半导体是电介质，因此电子可以感受到并被困在缺陷能态中。这些状态的能级由构成固体的原子决定。图 1 显示了元素半导体硅的哈里森图。从左到右，s轨道和 p轨道杂化形成 sp³ 键，当多个sp³ 杂化的硅-硅二聚体相连接时，就形成了导带和价带。如果存在空位，例如固/真空界面处每个原子上的空位，则会导致至少一个断裂的 sp³ 键，其能量相当于单个自杂化硅原子的能量，如图1所示。该能量大致对应于硅带隙的中间，价带上方约0.55 eV处。当然，这是最理想的情况，而如果发生化学键钝化效应（见下文）和表面重构效应，情况就会有所不同。实验上，如果仪器灵敏度和/或缺陷密度足够高，则可以使用吸收光谱或X射线光电子能谱来确定这些状态的能量。

图 2：III-IV 化合物半导体砷化镓的哈里森电子能图。与硅相同，该晶体是通过添加杂化砷化镓二聚体构建的。由于空位导致镓的悬挂键在导带底附近形成。 镓空位产生砷的悬挂键，其能量接近价带顶。 价带主要由“类砷”态组成，因为离子性将电子置于砷原子上，因此 导带态是“类镓”的。

化合物半导体（例如砷化镓）具有更靠近能带边缘的悬挂键（见图 2）。随着成键变得越来越离子化，这些状态甚至可以充当掺杂剂。这是众所周知的 ${\displaystyle p}$-型氮化镓掺杂困难的原因，其中氮空位由于其高蒸汽压导致高镓悬挂键密度。这些状态接近导带边缘，因此充当供体。当引入p型受体掺杂剂时，它们会立即被氮空位填充。对于这些浅能态，它们的处理通常被认为类似于氢原子，对于阴离子或阳离子空位的情况如下（${\displaystyle m*}$为阳离子中空穴的有效质量或阴离子中电子的有效质量为）。结合能为:

${\displaystyle E_{c}-E_{db}=U+KE={\frac {1}{2}}U\;\;(1)}$

其中 ${\displaystyle U=-q^{2}/(4\pi \epsilon \epsilon _{r})}$是占据悬挂键的电子与其离子核心之间的静电势，其中${\displaystyle \epsilon }$为自由空间介电常数，${\displaystyle \epsilon _{r}}$为相对介电常数，${\displaystyle r}$为电子-离子核间举例。电子平移能 ${\displaystyle KE=-U/2}$ 的简化是由于中心对称势的维里定理。正如玻尔模型所描述的，${\displaystyle r}$ 受到量化

${\displaystyle n\lambda =2\pi r\;\;(2)}$ 。

电子动量为${\displaystyle p=mv=h/\lambda }$ 使得 ${\displaystyle KE={\frac {p^{2}}{2m^{*}}}={\frac {h^{2}n^{2}}{8m^{*}\pi ^{2}r^{2}}}=-{\frac {U}{2}}={\frac {q^{2}}{8\pi \varepsilon \varepsilon _{r}r}}\;\;(3)}$

从而有

${\displaystyle r={\frac {4\pi \hbar ^{2}n^{2}\varepsilon \varepsilon _{r}}{q^{2}m^{*}}}\;\;(4)}$

和

${\displaystyle E_{c}-E_{db}={\frac {U}{2}}={\frac {m^{*}q^{4}}{8h^{2}(\varepsilon \varepsilon _{r})^{2}}}\;\;(5)}$ 。

由于缺陷倾向于远离任一能带边缘，因此这种处理会相对失去准确性。

悬挂键能级是描述缺陷附近电子的波函数的特征值。在载流子散射的经典模型中，这对应于散射频率的费米黄金法则的最终状态： ${\displaystyle S_{k'k}={\frac {2\pi }{\hbar }}|<f|H'|i>|^{2}\delta (E_{f}-E_{i})\;\;(6)}$

其中 ${\displaystyle H'}$ 为相互作用参数，狄拉克δ函数 ${\displaystyle \delta (E_{f}-E_{i})}$ 表示弹性散射。简单关系 ${\displaystyle 1/\tau =\Sigma _{k',k}S_{k'k}}$与 ${\displaystyle \sigma =ne_{2}\tau /m^{*}}$ 和Matthiessen规则结合使用以合并其他散射过程时，使其成为表征材料输运特性的方程。

${\displaystyle S_{k'k}}$ 的值主要由交互参数${\displaystyle H'}$决定。该术语根据是否考虑浅能态或深能态而有所不同。对于浅能态，${\displaystyle H'}$ 是重新定义的哈密顿量 ${\displaystyle H=H_{o}+H'}$的扰动项，其中${\displaystyle H_{o}}$的特征值能量为${\displaystyle E_{i}}$。这种情况的矩阵是[14]

${\displaystyle <f|H'|i>\equiv M_{k'k}={\frac {1}{V}}\int d{\bar {r}}H'e^{i{\bar {r}}({\bar {k}}-{\bar {k}}')}={\frac {1}{V}}\sum _{\bar {q}}\int d{\bar {r}}H_{\bar {q}}e^{i{\bar {r}}({\bar {k}}-{\bar {k}}'+{\bar {q}})}={\frac {1}{V}}\sum _{\bar {q}}H_{\bar {q}}\delta _{{\bar {k}}-{\bar {k}}'},_{\bar {q}}={\frac {1}{V}}H_{\bar {q}}\;\;(7)}$

其中${\displaystyle k'}$ 是最终状态的波矢，由于缺陷密度足够小而无法形成能带 (${\displaystyle ~<10^{10}/cm^{2}}$)，因此其只有一个值。使用傅里叶周期点电荷的泊松方程，

${\displaystyle \nabla ^{2}V({\bar {r}})={\frac {-e\delta ({\bar {r}})}{\varepsilon \varepsilon _{r}}}=-\sum _{\bar {q}}{\bar {q}}^{2}V_{\bar {q}}e^{i{\bar {q}}{\bar {r}}}={\frac {-e}{V\varepsilon \varepsilon _{r}}}\ \sum _{\bar {q}}e^{i{\bar {q}}{\bar {r}}}\;\;(8)}$ ,

给出悬挂键势的傅里叶系数 ${\displaystyle V_{q}=e/(q^{2}\epsilon \epsilon _{r}V)}$ 其中${\displaystyle V}$是体积。这使得

${\displaystyle H_{\bar {q}}=-eV_{\bar {q}}={\frac {-e^{2}}{{\bar {q}}^{2}\varepsilon \varepsilon _{r}V}}={\frac {-e^{2}}{({\bar {q}}^{2}+q_{s}^{2})\varepsilon \varepsilon _{r}V}}\;\;(9)}$

其中${\displaystyle q_{s}}$是由于电荷屏蔽而产生的德拜长度波矢校正。那么，散射频率为

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=\sum _{{\bar {k}}',{\bar {k}}}S_{{\bar {k}}'{\bar {k}}}=n\sum _{\bar {k}}{\frac {2\pi }{\hbar }}{\frac {e^{4}\delta (E_{\bar {k}}-E_{{\bar {k}}'})}{\varepsilon \varepsilon _{r}V[{\bar {q}}^{2}-q_{s}^{2}]^{2}}}={\frac {ne^{4}}{4\pi ^{2}\hbar \varepsilon \varepsilon _{r}}}\int \int \int dkd\theta d\phi {\frac {k^{2}sin\theta \;\delta (E_{\bar {k}}-E_{{\bar {k}}'})}{[{\bar {q}}^{2}-q_{s}^{2}]^{2}}}\;\;(10)}$

其中 ${\displaystyle n}$ 是体积缺陷密度。利用 ${\displaystyle |k|=|k'|}$ 执行积分，给出

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}={\frac {ne^{4}}{2\pi {\sqrt {2m^{*}(E_{c}-E_{db})}}\hbar ^{2}\varepsilon \varepsilon _{r}}}\left({\frac {1}{q_{s}^{2}}}-{\frac {1}{q_{s}^{2}+{\frac {8m^{*}(E_{c}-E_{db})}{\hbar ^{2}}}}}\right)\;\;(11)}$ 。

当缺陷为非周期性时，上述以傅立叶级数表示悬挂键势的处理会失败。由于缺陷密度较低，才可能将方程 (10) 中的总和简化为 ${\displaystyle n}$ 。如果每个原子（或可能每个其他原子）都有一个悬挂键（这对于非再构表面来说是相当合理的），则还必须对 ${\displaystyle k'}$ 进行积分。由于在定义相互作用矩阵时使用微扰理论，上面假设${\displaystyle H'}$ 值较小，或者接近能带边缘的浅缺陷态。幸运的是，费米黄金法则本身非常通用，如果传导电子和缺陷之间的相互作用被充分理解，可以将它们的相互作用建模为替代 ${\displaystyle H'}$ 的算子，则可以用于深态缺陷。

图 4：硅金属氧化物半导体场效应晶体管 (MOSFET) 的氢钝化，以减少硅/二氧化硅界面态。氢键与硅完全满足 sp³ 杂化，提供缺陷态占据，防止载流子散射到这些状态。

表面缺陷总是可以被原子“钝化”，有目的地占据相应的能级，这样输运电子就不能散射到这些态中（有效地减少等式 ${\displaystyle (10)}$中的${\displaystyle n}$）。例如，用氢在金屬氧化物半導體場效電晶體的沟道/氧化物界面处进行硅的钝化（图 4）是一种经典程序，有助于将 ${\displaystyle ~10^{10}cm^{-2}}$的缺陷密度降低12倍[15]，从而提高迁移率和开关速度。去除中间态会减少隧穿势垒，同时也会减少栅极漏电流并增加栅极电容以及瞬态响应。其效果是硅的sp³键变得完全饱和。这里明显的要求是半导体氧化钝化原子的能力，或者，${\displaystyle E_{c}-E_{db}+\chi >E_{I}}$，其中 ${\displaystyle \chi }$为半导体的电子亲和力，而${\displaystyle E_{I}}$为原子的电离能。

我们现在考虑带有称为声子晶格变形的载流子散射。考虑这种传播波产生的体积位移，${\displaystyle \Delta V_{0}}$，从而导致具有时间依赖性的应变， ${\displaystyle \Delta V_{0}/V_{0}=\bigtriangledown u(r,t)}$ 其中使用简单的平面波来描述声子传播， ${\displaystyle u(r,t)\propto exp\pm (iqr-i\omega t)}$ 。原子远离其平衡位置的位移通常会导致电子能带结构的变化（图 5），其中，对于散射，我们关注能量为${\displaystyle ~E_{CB}}$的导带中的电子，

${\displaystyle \Delta E_{CB}={\frac {\mathrm {d} E_{CB}}{\mathrm {d} V_{0}}}\Delta V_{0}=V_{0}{\frac {\mathrm {d} E_{CB}}{\mathrm {d} V_{0}}}{\frac {\Delta V_{0}}{V_{0}}}=Z_{DP}\cdot \bigtriangledown u(r,t)\;\;(12)}$ 。

经验参数${\displaystyle Z_{DP}}$称为变形势，描述电子-声子耦合强度。乘以声子布居（玻色-爱因斯坦分布，${\displaystyle N_{q}}$给出总变形势，

${\displaystyle \Delta E_{CB}^{Tot}={\widehat {H}}_{int}=Z_{DP}\cdot \bigtriangledown u(r,t){\sqrt {N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}}=\pm iqZ_{DP}u(r,t){\sqrt {N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}}\;\;(13)}$

图 5：当晶体的原子位置偏离平衡状态以产生体积应变时，能带边缘（导带${\displaystyle E_{CB}}$和价带 ${\displaystyle E_{VB}}$）变化示意图。

这里，${\displaystyle +}$ 对应于声子发射，${\displaystyle -}$对应于散射事件期间的声子吸收。一个注释，因为${\displaystyle q\perp u(r,t)}$对于横向声子，只有与纵向声子的相互作用是非零的。因此，完整的相互作用矩阵为

${\displaystyle <k'|{\widehat {H}}_{int}|k>=\pm iqZ_{DP}u(r,t){\sqrt {N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}}\delta _{k',k\pm q}\;\;(14)}$

其中克罗内克δ函数强制动量守恒，其源于假设电子波函数（最终状态， ${\displaystyle <k'|}$ ，和初始状态， ${\displaystyle |k>}$ ）也是平面波。

使用费米黄金法则，可以近似计算低能声学支声子的散射率。这些声子的相互作用矩阵是

${\displaystyle |<k'|{\widehat {H}}_{int}|k>|^{2}=Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})\delta _{k',k\pm q}\;\;(15)}$

声子角频率 ${\displaystyle \omega _{q}=cq}$、体积${\displaystyle V}$、固体密度${\displaystyle \rho }$和声子群速度${\displaystyle c}$。 [16]将其代入方程式 6 给出

${\displaystyle S_{k'k}^{Ac}={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})\delta _{k',k\pm q}\delta [E(k')-E(k)\pm \hbar \omega _{q}]\;\;(16)}$ 。

假设 ${\displaystyle N_{q}>>1>>}$、${\displaystyle \hbar \omega <<kT}$ 和 ${\displaystyle g(E')~g(E)}$（这通常适用于三维晶体，因为传导电子能量通常远大于${\displaystyle \hbar \omega }$并且 ${\displaystyle g(E)}$ 缺乏任何范霍夫奇点) 给出散射率：

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=\sum _{k'}S_{k'k}^{Ac}=\sum _{k}S_{k\pm q,k}^{Ac}}$ ${\displaystyle ={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}}}({\frac {kT}{\hbar \omega _{q}}})\sum _{k}\delta _{k',k\pm q}\delta [E(k')-E(k)\pm \hbar \omega _{q}]}$ ${\displaystyle ={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {kT}{2V\rho c^{2}}}V\times g(E)}$

${\displaystyle ={\frac {\sqrt {2}}{\pi }}{\frac {Z_{DP}^{2}m^{*{\frac {3}{2}}}kT}{\rho \hbar ^{4}c^{2}}}{\sqrt {E-E_{CB}}}\;\;(17)}$

其中 ${\displaystyle g(E)}$ 是电子的态密度，使用具有抛物线色散的三维解来获得最终答案。

通常，光学支声子色散关系中的能量具有相当于或大于 ${\displaystyle kT}$ 的两级，因此，无法进行近似 ${\displaystyle \hbar \omega <<kT}$和 ${\displaystyle N_{q}>>1}$。然而，仍然可以使用爱因斯坦模型近似处理复杂的声子色散，该模型假设固体中只存在一种声子模式。对于光学支的声子，由于${\displaystyle \omega (q)}$的斜率变化非常小，这种近似是足够的。因此，我们可以假设${\displaystyle \hbar \omega (q)\approx \hbar \omega (q)}$是一个常数，而${\displaystyle N_{q}}$ 也是一个仅与温度相关的常数。最后的近似值 ${\displaystyle g(E')=g(E\pm \hbar \omega )~g(E)}$ 无法进行，因为${\displaystyle \hbar \omega \sim E}$ 并且无解，但${\displaystyle \tau }$总和所增加的复杂性是最小的。

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=\sum _{k'}S_{k'k}^{Op}={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega }{2V\rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})\sum _{k'}\delta _{k',k\pm q}\delta [E(k')-E(k)\pm \hbar \omega ]}$</br> ${\displaystyle =Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega }{8\pi ^{2}\hbar \rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})g(E\pm \hbar \omega )\;\;(18)}$ 。

其相加的和转化为 ${\displaystyle E'}$ 处的态密度，并且由于 ${\displaystyle \hbar \omega (q)\approx \hbar \omega }$，可以从总和中取出玻色-爱因斯坦分布。