费米黄金定则

黃金定則是薛丁格方程式解哈密頓量最低階微擾H'的直接結果。總哈密頓量是「原」哈密頓量H₀和微擾量的和，${\displaystyle H=H_{0}+H'}$。在 相互作用绘景下，我們可以用未微擾的系統${\displaystyle |n\rangle }$的能量特徵態搭配${\displaystyle H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle }$展開任一量子態的時間演化。

被微擾的系統的量子態的級數展開在一時間t是${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle }$。係數a_n(t) 是在狄拉克繪景下用來產生機率幅的未知含時函數。此一量子態遵循含時薛丁格方程式:

${\displaystyle H|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ~.}$

展開哈密頓量和量子態到一階微擾，

${\displaystyle \left(H_{0}+H'-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} tE_{n}/\hbar }=0,}$ 這裡 E_n 和 |n⟩ 是穩定態H₀的特徵值和特徵函數 。

此等式可以被重寫成一個針對${\displaystyle a_{n}(t)}$的時間演化的微分方程式系統，

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} a_{k}(t)}{\mathrm {d} t}}=\sum _{n}\langle k|H'|n\rangle a_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{n})/\hbar }.}$

此等式相當簡潔但實際上無法普通地解開。

對於一個施加在t=0的常數微擾H'，我們可以用微擾理論${\displaystyle i}$。即，如果${\displaystyle H'=0}$，很明顯的${\displaystyle a_{n}(t)=\delta _{n,i}}$，簡明的表述系統仍在初始態${\displaystyle i}$。

對於${\displaystyle k\neq i}$情況下，因為${\displaystyle H'\neq 0}$所以${\displaystyle a_{k}(t)\neq 0}$，且因為微擾的影響上述幾項量值皆假設很小。因此，可將${\displaystyle a_{n}(t)=\delta _{n,i}}$放入上述等式0階項來得出第一個修正的振幅${\displaystyle a_{k}(t)}$。

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} a_{k}(t)}{\mathrm {d} t}}=\langle k|H'|i\rangle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{i})/\hbar },}$

經過積分後，

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar a_{k}(t)=2\langle k|H'|i\rangle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t/2}{\frac {\sin \omega t/2}{\omega }}}$

對於${\displaystyle \omega \equiv (E_{k}-E_{i})/\hbar }$，和 a_i(0) =1，a_k(0)=0，躍遷到 a_k(t)態 (${\displaystyle k\neq i}$)。

躍遷速率是

${\displaystyle \Gamma _{i\rightarrow k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left|a_{k}(t)\right|^{2}={\frac {2|\langle k|H'|i\rangle |^{2}}{\hbar ^{2}}}{\frac {\sin \omega t}{\omega }},}$

一個對於小 ω 迅速上升的sinc函數。當${\displaystyle \omega =0}$，${\displaystyle \sin(\omega t)/\omega =t}$，所以到一個孤立的${\displaystyle |k\rangle }$量子態的躍遷率隨時間t線性變化！

對於連續分布在能量E的量子態，它們一定要全部都被考慮到。因此需要在一能量區間中的態密度ρ(E)，來對它們的能量積分，同時也對應到ω。

${\displaystyle \Gamma _{i\rightarrow f}={\frac {2}{\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \rho (\omega )|\langle f|H'|i\rangle |^{2}{\frac {\sin \omega t}{\omega }}~.}$

考慮很長一段時間，sinc函數在ω ≈ 0迅速攀升，以及可忽略外部區間只考慮[−π/t, π/t]  ; 密度以及躍遷元素可以被拿出積分，因此躍遷率

${\displaystyle \Gamma _{i\rightarrow f}={\frac {2\rho |\langle f|H'|i\rangle |^{2}}{\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega {\frac {\sin \omega t}{\omega }}}$

只正比於狄利克雷積分，常數π。

「含時的部分消失了」，黃金定則是「常數衰變率」。[7] 它作為一個常數影響輻射的粒子衰變。（然而經過相當長的時間後只要a_k ≪ a_i，a_k(t)的長期增長不會對最低階的微擾理論產生影響。）