留数

亚纯函数${\displaystyle f}$在孤立奇点${\displaystyle a}$的留数，通常记为${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a)}$或${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f)}$，是使${\displaystyle f(z)-R/(z-a)}$在穿孔圆盘${\displaystyle 0<|z-a|<\delta }$内具有解析原函数的唯一值${\displaystyle R}$。

另外，留数也可以通过求出洛朗级数展开式来计算，并且可以将留数定义为洛朗级数的系数a_-1。

留数的定义可以拓展到任意黎曼曲面上。

作为例子，考虑以下的路径积分：

${\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz}$

其中C是围绕原点的任意(正向)简单闭曲线。

我们来计算这个积分，不用任何标准的积分定理。现在，e^z的泰勒级数是众所周知的，我们可以把这个级数代入被积表达式中。则积分变为：

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}$

我们把1/z⁵的项代进级数中，便得到：

${\displaystyle \oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz}$

${\displaystyle =\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}$

现在，积分便化为更简单的形式。由于：

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{a}}\,dz=0,\quad a\in \mathbb {Z} ,\quad a\neq 1.}$

因此任何不是cz⁻¹形式的项都变成了零，那么积分变为：

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.}$

1/4!就是e^z/z⁵在z = 0的留数，记为：

${\displaystyle \mathrm {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},}$或${\displaystyle \mathrm {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},}$或${\displaystyle \mathrm {Res} (f,0).}$

设复平面内有一穿孔圆盘D = {z : 0 < |z − c| < R}，f是定义在D内的一个全纯函数。f在c的留数Res(f, c)是罗朗级数展开式的(z − c)⁻¹项的系数a₋₁。计算留数的值的方法有很多，具体采用那种方法取决于题目中的函数，以及奇点的性质。

根据柯西积分公式，我们有：

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}$

其中γ是逆时针绕着c的一条闭曲线。我们可以选择γ为绕着c的一个圆，它的半径可以任意地小。

• 柯西积分公式
• 柯西积分定理
• 莫雷拉定理

• Ahlfors, Lars. . McGraw Hill. 1979.
• Marsden & Hoffman, Basic complex analysis (Freeman, 1999).

• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• 留数的教程