可去奇点

黎曼关于可去奇点的定理指出了何时一个奇点是可去的：

定理下列情形是等价的：

i) f可全纯延拓到a。

ii) f可连续延拓到a。

iii) 存在a的一个邻域，在它上面 f 有界。

iv) lim_{z → a}(z - a) f(z) = 0.

蕴含关系 i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) 是平凡的。为了证明 iv) ⇒ i)，我们首先回忆到一个函数在a的全纯性等价于解析，即有一个幂级数表示。定义

${\displaystyle h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\\\end{cases}}}$

则

${\displaystyle h(z)-h(a)=(z-a)(z-a)f(z),\,}$

这里由假设(z - a)f(z)可以视为一个D上的连续函数。换句话说，h在D上全纯从而有在a的泰勒级数：

${\displaystyle h(z)=a_{2}(z-a)^{2}+a_{3}(z-a)^{3}+\cdots .}$

所以

${\displaystyle g(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}}$

是f在a的全纯延拓，这就证明了先前的断言。

不像实变量函数，全纯函数有足够的刚性使得其孤立奇点可完全分类。一个全纯函数的奇点要么其实不是真正的奇点，即可去奇点，要么是如下两类居其一：

1. 受黎曼定理启示，给定一个不可去奇点，我们可能问是否存在一个自然数 m 使得 lim_{z → a}(z - a)^m+1f(z) = 0。如果存在，a 称为 f 的一个极点，这样最小的 m 称为 a 的阶数。所以可去奇点恰好是零阶极点。一个全纯函数在极点附近一致发散到无穷远点。

1. 如果 f 的一个孤立奇点 a 既非可去奇点也非极点，则称本性奇点。皮卡定理指出 f 将任意穿孔开邻域 U - {a} 映满整个复平面，至多少一个可能的例外点。

• 解析容度
• 可去不连续点