白銀比例

以下列出白銀比例的幾個乘幂：

${\displaystyle \!\ \delta _{S}^{0}=[1]=1}$

${\displaystyle \delta _{S}^{1}=\delta _{S}+0=[2;2,2,2,2,2,\dots ]\approx 2.41421}$

${\displaystyle \delta _{S}^{2}=2\delta _{S}+1=[5;1,4,1,4,1,\dots ]\approx 5.82842}$

${\displaystyle \delta _{S}^{3}=5\delta _{S}+2=[14;14,14,14,\dots ]\approx 14.07107}$

${\displaystyle \delta _{S}^{4}=12\delta _{S}+5=[33;1,32,1,32,\dots ]\approx 33.97056}$

乘幂的遞迴關係式如下：

${\displaystyle \!\ \delta _{S}^{n}=K_{n}\delta _{S}+K_{n-1}}$

其中

${\displaystyle \!\ K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}}$

因此可用上式得到以下乘幂的值：

${\displaystyle \!\ \delta _{S}^{5}=29\delta _{S}+12=[82;82,82,82,\dots ]\approx 82.01219}$

利用${\displaystyle K_{0}=1}$ 及 ${\displaystyle K_{1}=2}$為初始條件，可以利用求解以下的遞迴關係式得到${\displaystyle K_{n}}$的解：

${\displaystyle \!\ K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}}$

${\displaystyle K_{n}}$可以表示為以下的式子

${\displaystyle \!\ K_{n}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{(\delta _{S}^{n+1}-{(2-\delta _{S})}^{n+1})}}$

白银比例和${\displaystyle {\tfrac {\pi }{8}}=22.5^{\circ }}$ 的三角函數數值有關：

${\displaystyle \textstyle \sin {\frac {\pi }{8}}=\cos {\frac {3\pi }{8}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}={\sqrt {\frac {1}{2\delta _{s}}}}}$

${\displaystyle \textstyle \cos {\frac {\pi }{8}}=\sin {\frac {3\pi }{8}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}={\sqrt {\frac {\delta _{s}}{2}}}}$

${\displaystyle \textstyle \tan {\frac {\pi }{8}}=\cot {\frac {3\pi }{8}}={\sqrt {2}}-1={\frac {1}{\delta _{s}}}}$

${\displaystyle \textstyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\tan {\frac {3\pi }{8}}={\sqrt {2}}+1=\delta _{s}}$

邊長為a的正八邊形面積可以用下式表示：

${\displaystyle A=\textstyle 2a^{2}\cot {\frac {\pi }{8}}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828427a^{2}.}$