直觉类型论

${\displaystyle \Pi }$-类型，也叫做依赖函数类型，一般化了普通的函数空间，建模其结果的类型可以随它们的输入而变化的函数，比如，对实数的 ${\displaystyle n}$-元组写为 ${\displaystyle {\mbox{Vec}}({\mathbb {R} },n)}$，则${\displaystyle \Pi n:{\mathbb {N} }.{\mbox{Vec}}({\mathbb {R} },n)}$ 表示对给定的自然数返回这个大小的实数元组的函数的类型。在值域类型实际上不依赖于输入的时候，普通函数空间作为特殊情况出现，比如 ${\displaystyle \Pi n:{\mathbb {N} }.{\mathbb {R} }}$ 是从自然数到实数的函数的类型，它也写为 ${\displaystyle {\mathbb {N} }\to {\mathbb {R} }}$。使用 Curry-Howard同构，${\displaystyle \Pi }$-类型还充当建模蕴涵和全称量化: 比如，具有类型 ${\displaystyle \Pi m,n:{\mathbb {N} }.m+n=n+m}$ 的一个项，是对任何一对自然数的函数指派加法对这个数对是交换性的证明，并因此可以被当作加法对于所有自然数是交换性的一个证明。

${\displaystyle \Sigma }$-类型，也叫做依赖乘积类型，一般化了普通的笛卡尔积，建模第二个构件的类型依赖于第一个构件的有序对，比如类型 ${\displaystyle \Sigma n:{\mathbb {N} }.{\mbox{Vec}}({\mathbb {R} },n)}$ 表示自然数和这个大小的实数的元组的有序对的类型，就是说，这个类型可以用来建模任意长度的序列(通常叫做列表)。在第二个构件的类型实际上不依赖于第一个构件的时候，常规的笛卡尔积类型作为特殊情况出现，比如 ${\displaystyle \Sigma n:{\mathbb {N} }.{\mathbb {R} }}$ 是自然数和实数的有序对的类型，它也写为 ${\displaystyle {\mathbb {N} }\times {\mathbb {R} }}$。再次使用 Curry-Howard同构，${\displaystyle \Sigma }$-类型也充当建模合取和存在量化。

特别重要的是 ${\displaystyle 0}$ (空类型)、${\displaystyle 1}$ (单位类型)和 ${\displaystyle 2}$ (布尔值或真值)。再次用到 Curry-Howard同构，${\displaystyle 0}$ 表示假而 ${\displaystyle 1}$ 表示真。

使用有限类型，我们可以定义否定为 ${\displaystyle \neg A=A\to 0}$，服从Curry-Howard同构，不相交并集也表示析取，它可以定义为 ${\displaystyle A+B=\Sigma b:2.{\mbox{if}}\,b\,{\mbox{then}}\,A\,{\mbox{else}}\,B}$。

给定 ${\displaystyle a,b:A}$，则 ${\displaystyle a=b}$ 是 ${\displaystyle a}$ 等于 ${\displaystyle b}$ 的等式证明。只有一个(规范的) ${\displaystyle a=b}$ 的居留，并且这是自反性 ${\displaystyle {\mbox{refl}}:\Pi a:A.a=a}$ 的证明。

归纳类型的基本例子是自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 的类型，它是通过 ${\displaystyle 0:{\mathbb {N} }}$ 和 ${\displaystyle {\mbox{succ}}:{\mathbb {N} }\to {\mathbb {N} }}$ 生成的。命题为类型原理的一个重要应用是通过对用 ${\displaystyle n:{\mathbb {N} }}$ 索引的给定类型 ${\displaystyle P(n)}$ 的一个消除常量: ${\displaystyle {\mathbb {N} }-{\mbox{elim}}:P(0)\to (\Pi n:{\mathbb {N} }.P(n)\to P({\mbox{succ}}(n)))\to \Pi n:{\mathbb {N} }.P(n)}$ 来把(依赖的)原始递归和归纳同一起来的。在一般的归纳类型中可以被定义为 W-类型，它是良基的树的类型。

一类重要的归纳类型是像上面提及的向量 ${\displaystyle {\mbox{Vec}}(A,n)}$ 的归纳类型家族，它们是归纳生成自构造子 ${\displaystyle {\mbox{vnil}}:{\mbox{Vec}}(A,0)}$ 和 ${\displaystyle {\mbox{vcons}}:A\to \Pi n:{\mathbb {N} }.{\mbox{Vec}}(A,n)\to {\mbox{Vec}}(A,{\mbox{succ}}(n))}$。再次用到Curry-Howard同构，归纳类型家族对应于归纳定义的关系。

全集的一个例子是 ${\displaystyle U_{0}}$，它是所有小类型的全集，它包含前面介绍的所有类型的名字。对于每个名字 ${\displaystyle a:U_{0}}$ 我们关联上一个类型 ${\displaystyle El(a)}$，这是它的外延或意义。标准上是假定全集的一个直谓性等级: 对于每个自然数 ${\displaystyle n:{\mathbb {N} }}$ 的 ${\displaystyle U_{n}}$，这里的全集 ${\displaystyle U_{n+1}}$ 包含以前的全集的一个代码，就是说，我们通过 ${\displaystyle El(u_{n})=U_{n}}$ 而有 ${\displaystyle u_{n}:U_{n+1}}$。这个等级经常被假定为是累积性的，就是说来自 ${\displaystyle U_{n}}$ 的代码被嵌入了 ${\displaystyle U_{n+1}}$。

已经研究了更强的全集原理，比如超全集和 Mahlo 全集。在 1992 年 Huet 和 Coquand 介入了构造演算，它是带有非直谓性全集的类型论，从而把类型论同 Girard 的系统F 合并起来了。这个扩展不被直觉主义者所普遍接受，因为它允许非直谓性的，就是循环的构造，这经常用经典推理来识别。