特殊直角三角形

特殊直角三角形是一些有特殊性質的直角三角形，其特殊性質可能是使三角形的計算更加方便，或是存在一些較簡單的公式。例如有些三角形的內角有一些簡單的關係，例如45–45–90度三角形，這是各角有特殊關係的直角三角形。也有些直角三角形的各邊有特殊關係，例如各邊的比例可以用自然數表示，例如3 : 4 : 5，或是可以用黃金比例表示等。若在處理這些三角形時知道其特殊的邊關係或角關係，可以快速的計算一些幾何問題而不需用到一些較複雜的公式。

用歐拉圖表示三角形中一些特殊的三角形

各角有特殊關係

45–45–90度三角形及30–60–90度三角形都是有特殊角的直角三角形，角度分別是30度及45度的倍數

直角三角形的各角有其基本關係：最大角（直角）為90度，也等於另外二角的和。但有些直角三角形的各角還有其他特殊關係。

直角三角形的邊長一般會用單位圓或其他幾何方式推導而成，若角度為30°, 45°或60°，其三角函數的數值計算會比其他的角度會簡單很多。

以下是一些特殊角的三角函數

角度	弧度	sin	cos	tan
0	0	${\tfrac {\sqrt {0}}{2}}=0$	${\tfrac {\sqrt {4}}{2}}=1$	$0$
30	${\tfrac {\pi }{6}}$	${\tfrac {\sqrt {1}}{2}}={\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$	${\tfrac {1}{\sqrt {3}}}$
45	${\tfrac {\pi }{4}}$	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$	$1$
60	${\tfrac {\pi }{3}}$	${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$	${\tfrac {\sqrt {1}}{2}}={\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$
90	${\tfrac {\pi }{2}}$	${\tfrac {\sqrt {4}}{2}}=1$	${\tfrac {\sqrt {0}}{2}}=0$	$\infty$

45–45–90

30–60–90

45–45–90度三角形、30–60–90度三角形以及正三角形是平面上的三種莫比斯三角形，任一內角都可以找到對應整數，使內角和整數的乘積為180，參照三角形群。

45–45–90度三角形

45–45–90度三角形的邊長

在平面幾何中，將正方形繪製一條對角線會產生一個角度比例為1 : 1 : 2的三角形，而內角和為180度（或是π弧度），因此各角角度為45° (π/4)、45° (π/4)和90° (π/2)。依畢氏定理可得其邊長比例為1 : 1 : √2，因此45–45–90度三角形為等腰直角三角形。若繪製45–45–90度三角形斜邊的中線，中線會將45–45–90度三角形分割為另外二個較小的45–45–90度三角形，邊長是原來的1/√2。

45–45–90度三角形為等腰直角三角形，在平面幾何中，這也是唯一是等腰三角形的直角三角形。不過在球面幾何學或雙曲幾何中，有無限種也是等腰三角形的直角三角形。

30–60–90度三角形

30–60–90度三角形的邊長

若三角形各角的比例是1 : 2 : 3，其各角角度會是30°、60°和90°。各邊的比例會是1 : √3 : 2。

使用三角函數可以證明上述的事實．利用幾何學的證明如下：

繪製邊長為2的正三角形ABC，並令D點為線段BC的中點。連接線段AD，則三角形ABD為 30–60–90度三角形，其斜邊長度為2，一股BD長度為1。

另一股AD的長度為√3，可以由畢氏定理求得。

30–60–90度三角形是平面幾何中唯一一個角度呈等差數列的直角三角形。其證明很簡單：假設三個角的角度為等差數列，可以表示為為α, α+δ, α+2δ，因為內角和為180°，可得3α+3δ = 180°，其中有一角會是60度，而且最大角需為90度，因此最小角會是30度。

角度呈等比數列的直角三角形

在平面幾何中，30–60–90度三角形是唯一一個角度呈等差數列的直角三角形，角度呈等比數列的直角三角形也只有一種，其角度為π/(2φ²)[1]、π/(2φ)、π/2，其中公比為黃金比例φ。三個內角的比例為 ${\displaystyle 1:\varphi$ 。

根據正弦定律，各邊的比例會是 $\sin {\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}:\sin {\frac {\pi }{2\varphi }}:1$ 。因為各邊長的關係也要滿足畢氏定理，因此可得 $\sin ^{2}{\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}+\sin ^{2}{\frac {\pi }{2\varphi }}=1$ [註 1]。

另外，存在以下的恆等式：

\cos {\frac {\pi }{\varphi +1}}+\cos {\frac {\pi }{\varphi }}=0

[註 2]

有趣的是，若將餘弦函數以指數來表示，可以得到一個「黃金比例恆等式」，其中有出現黃金比例φ，和出現在歐拉恆等式中的五個數學基本常數π, e, i, 1, 0（不過歐拉恆等式比較簡潔）：

e^{\frac {i\pi }{\varphi +1}}+e^{-{\frac {i\pi }{\varphi +1}}}+e^{\frac {i\pi }{\varphi }}+e^{-{\frac {i\pi }{\varphi }}}=0.\,

各邊有特殊關係

若三角形各邊為整數，三角形的三邊稱為勾股數，其各角的角度不會是整數[2]。這類的直角三角形容易記憶，而且三角形的各邊比例只要一様，即為相似三角形，就會有一様的特質。利用歐幾里得產生勾股數的公式，勾股數的比例比必定滿足以下的關係

m^{2}-n^{2}:2mn:m^{2}+n^{2}\,

其中m和n均為正整數，而且m>n。

常見的勾股数

以下是前五個勾股数：

3:	4	:5
5:	12	:13
8:	15	:17
7:	24	:25
9:	40	:41

其中3 : 4 : 5三角形是唯一邊長呈等差數列的直角三角形，在埃及稱為「埃及三角形」[3]。由勾股数的有理數組成的三角形都是海倫三角形，表示其邊長和面積都是有理數。

以下是所有二股都小於256的互質勾股数組：

3:	4	:5
5:	12	:13
8:	15	:17
7:	24	:25
9:	40	:41
11:	60	:61
12:	35	:37
13:	84	:85
15:	112	:113
16:	63	:65
17:	144	:145
19:	180	:181
20:	21	:29
20:	99	:101
21:	220	:221

24:	143	:145
28:	45	:53
28:	195	:197
32:	255	:257
33:	56	:65
36:	77	:85
39:	80	:89
44:	117	:125
48:	55	:73
51:	140	:149

52:	165	:173
57:	176	:185
60:	91	:109
60:	221	:229
65:	72	:97
84:	187	:205
85:	132	:157
88:	105	:137
95:	168	:193
96:	247	:265

104:	153	:185
105:	208	:233
115:	252	:277
119:	120	:169
120:	209	:241
133:	156	:205
140:	171	:221
160:	231	:281
161:	240	:289
204:	253	:325
207:	224	:305

斐波那契三角形

從5開始，斐波那契數列中的第6項、第8項、第10項...等偶數項（假設0為第1項）{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...} 為邊長為整數的直角三角形的斜邊，也就是勾股數中最大的一項。二股中較長的一股為上一個斐波那契三角形的三邊和，較短一股為跳過的斐波那契數減去上一個斐波那契三角形的最短邊。

第一個斐波那契三角形邊長為5, 4和3。跳過數字8，下一個斐波那契三角形邊長為13, 12（5 + 4 + 3）和5（8 − 3）。跳過數字21，下一個三角形邊長為34, 30（13 + 12 + 5）和16（21 − 5）。此數列會一直延伸，最後會趨近以下的比值：

1:2:{\sqrt {5}}.

Andrew Clarke建議將長度比例為: $1:2:{\sqrt {5}}$ 的三角形稱為dom，因為此三角形可以由二格骨牌（domin）延對角線切割而成，此三角形是約翰·何頓·康威及查爾斯·雷丁提出的非週期性風車貼磚的基礎。

幾乎等腰的直角三角形

等腰直角三角形的三邊不可能都是整數，但存在無限個「幾乎等腰」的直角三角形，也就是直角三角形的邊長為整數，而且二股長度只差一[4]。這類幾乎等腰的直角三角形可以用佩尔方程遞迴求解而得：

a₀ = 1, b₀ = 2

a_n = 2b_n–1 + a_n–1

b_n = 2a_n + b_n–1

a_n為斜邊的長度，n = 1, 2, 3, ....。最小的幾個三角形如下

3 :	4	: 5
20 :	21	: 29
119 :	120	: 169
696 :	697	: 985
4059 :	4060	: 5741
23660 :	23661	: 33461

各邊呈等比數列的三角形

开普勒三角的三邊分別組成的正方形，面積呈等比數列，其公比為黃金比例

开普勒三角形是特殊的直角三角形，它的三边之比等于 $1:{\sqrt {\phi }}:\phi$ ，為等比數列，其中 $\phi$ 是黄金比， $\phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ .德国数学家及天文学家开普勒最早提出三边满足此比例的三角形。

註釋

根據黃金比例的定義， ${\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1$ ，由於 $\sin {\frac {\pi }{2\varphi }}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{2\varphi }}\right)=\cos \left({\frac {\varphi \pi }{2\varphi }}-{\frac {\pi }{2\varphi }}\right)=\cos {\frac {(\varphi -1)\pi }{2\varphi }}=\cos {\frac {{\frac {1}{\varphi }}\pi }{2\varphi }}=\cos {\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}$ ，因此原式成立。
根據黃金比例的定義， $1+\varphi =\varphi ^{2}$ ，因此 $\cos {\frac {\pi }{\varphi +1}}=\cos {\frac {\pi }{\varphi ^{2}}}=-\cos \left(\pi -{\frac {\pi }{\varphi ^{2}}}\right)=-\cos \left({\frac {\varphi ^{2}\pi }{\varphi ^{2}}}-{\frac {\pi }{\varphi ^{2}}}\right)=-\cos {\frac {(\varphi ^{2}-1)\pi }{\varphi ^{2}}}=-\cos {\frac {\varphi \pi }{\varphi ^{2}}}=-\cos {\frac {\pi }{\varphi }}$ ；
或者， ${\frac {1}{\varphi +1}}+{\frac {1}{\varphi }}={\frac {1}{\varphi ^{2}}}+{\frac {1}{\varphi }}={\frac {1}{\varphi ^{2}}}+{\frac {\varphi }{\varphi ^{2}}}={\frac {1+\varphi }{\varphi ^{2}}}={\frac {1+\varphi }{1+\varphi }}=1$ ，故 ${\frac {\pi }{\varphi +1}}+{\frac {\pi }{\varphi }}=\pi$ ，此兩角度互補，其cos值為相反數。

參考資料

OEIS:A180014
Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2013-08-31]. （原始内容存档于2021-03-14）（英语）.
A. Aleksei Petrovich Stakhov. . World Scientific. 2009: p.86. ISBN 9812775838.
C.C. Chen and T.A. Peng. (PDF). University of Queensland. [2013-09-02]. （原始内容存档 (PDF)于2012-02-17）.

外部連結

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[2] 根據黃金比例的定義， ${\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1$ ，由於 $\sin {\frac {\pi }{2\varphi }}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{2\varphi }}\right)=\cos \left({\frac {\varphi \pi }{2\varphi }}-{\frac {\pi }{2\varphi }}\right)=\cos {\frac {(\varphi -1)\pi }{2\varphi }}=\cos {\frac {{\frac {1}{\varphi }}\pi }{2\varphi }}=\cos {\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}$ ，因此原式成立。

[3] 根據黃金比例的定義， $1+\varphi =\varphi ^{2}$ ，因此 $\cos {\frac {\pi }{\varphi +1}}=\cos {\frac {\pi }{\varphi ^{2}}}=-\cos \left(\pi -{\frac {\pi }{\varphi ^{2}}}\right)=-\cos \left({\frac {\varphi ^{2}\pi }{\varphi ^{2}}}-{\frac {\pi }{\varphi ^{2}}}\right)=-\cos {\frac {(\varphi ^{2}-1)\pi }{\varphi ^{2}}}=-\cos {\frac {\varphi \pi }{\varphi ^{2}}}=-\cos {\frac {\pi }{\varphi }}$ ；
或者， ${\frac {1}{\varphi +1}}+{\frac {1}{\varphi }}={\frac {1}{\varphi ^{2}}}+{\frac {1}{\varphi }}={\frac {1}{\varphi ^{2}}}+{\frac {\varphi }{\varphi ^{2}}}={\frac {1+\varphi }{\varphi ^{2}}}={\frac {1+\varphi }{1+\varphi }}=1$ ，故 ${\frac {\pi }{\varphi +1}}+{\frac {\pi }{\varphi }}=\pi$ ，此兩角度互補，其cos值為相反數。

[1] OEIS:A180014

[4] Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2013-08-31]. （原始内容存档于2021-03-14）（英语）.

[5] A. Aleksei Petrovich Stakhov. . World Scientific. 2009: p.86. ISBN 9812775838.

[6] C.C. Chen and T.A. Peng. (PDF). University of Queensland. [2013-09-02]. （原始内容存档 (PDF)于2012-02-17）.